Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 419 стр.

§ 33        Двойственный оператор. Теорема Фредгольма              419

  Определение 33.3. Линейный оператор (33.4) называется двой-
ственным (сопряженным) к линейному оператору (33.1).
  Действие оператора ϕ∗ на линейные формы можно описать по-
дробнее, с указанием аргумента форм (вектора x ∈ V ):

       ϕ∗ (g) (x) = (g ◦ ϕ)(x) = g(ϕ(x)); g ∈ W ∗ ; x ∈ V.        (33.5)

  Переход от линейного оператора к двойственному определяет ото-
бражение
       ∗
           : L(V, W ) −→ L(W ∗ , V ∗ ); ϕ 7→ ϕ∗ ; ϕ ∈ L(V, W ).   (33.6)

  Алгебраические свойства отображения (33.6) составляют содер-
жание следующего предложения.

  Предложение 33.1. Операция перехода к двойственному линей-
ному оператору
  1) сохраняет тождественые операторы, т. е.

                                  ε∗V = εV ∗ ;                    (33.7)

  2) является линейным отображением линейных пространств ли-
нейных операторов, т. е.

                      (λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 )∗ = λ1 ϕ∗1 + λ2 ϕ∗2         (33.8)

для любых ϕ1 , ϕ2 ∈ L(V, W ) и любых скаляров λ1 , λ2 ∈ P ;
  3) переводит композицию операторов в композицию двойственных
операторов, взятых в противоположном порядке, т. е.

                             (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗                  (33.9)

для любых ϕ ∈ L(V, W ) и ψ ∈ L(W, U ).
   Доказательство. 1. Первое утверждение совершенно очевидно:

                             ε∗V (g) = g ◦ εV = g

для любого g ∈ V ∗ .
  2. Доказательству второго утверждения мы предпошлем следую-
щую диаграмму.