Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 417 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 33 Двойственный оператор. Теорема Фредгольма 417
Докажем соотношение (5а). Каждое из подпространств, M
1
и
M
2
, содержится в сумме M
1
+ M
2
. Значит, в силу (3а), аннулятор
(M
1
+ M
2
)
◦
содержится в каждом из аннуляторов, M
◦
1
и M
◦
2
, и, сле-
довательно, — в их пересечении.
Тем самым доказано включение (M
1
+ M
2
)
◦
⊆ M
◦
1
∩ M
◦
2
.
Для доказательства противоположного включения возьмем про-
извольную форму f ∈ M
◦
1
∩ M
◦
2
. Форма f аннулируется как на M
1
,
так и на M
2
. Значит, она аннулируется на M
1
+ M
2
(в самом де-
ле, всякий элемент x ∈ M
1
+ M
2
представляется в виде x = y + z,
где y ∈ M
1
и z ∈ M
2
; поэтому f(x) = f(y + z) = f(y) + f(z) = 0).
Следовательно, f ∈ (M
1
+ M
2
)
◦
.
Наметим доказательство (5b). Первое включение получаем, руко-
водствуясь теми же соображениями, что и при доказательстве (5а).
Второе включение, (N
1
+ N
2
)
◦
⊇ N
◦
1
∩N
◦
2
, обосновывается так: если
вектор x принадлежит обоим аннуляторам, N
◦
1
и N
◦
2
, то на нем ан-
нулируются любая форма f ∈ N
1
и любая форма g ∈ N
2
, а значит, —
и любая форма h = f + g ∈ N
1
+ N
2
, т. е. x принадлежит аннулятору
суммы.
Переходим к доказательству утверждения (6a). Представим дан-
ные подпространства M
1
, M
2
6 V как аннуляторы, M
1
= N
◦
1
и
M
2
= N
◦
2
, некоторых подпространств N
1
, N
2
6 V
∗
и воспользуем-
ся ранее доказанными утверждениями:
(M
1
∩ M
2
)
◦
= (N
◦
1
∩ N
◦
2
)
◦
(5b)
== (N
1
+ N
2
)
◦◦
(4b)
== N
1
+ N
2
= M
◦
1
+ M
◦
2
.
Доказательство (6b) совершенно аналогично. ¤
§
§
§ 33. Двойственный линейный оператор.
Теорема Фредгольма
33.1. Понятие двойственного линейного оператора. Мы
уже не раз подчеркивали характерную особенность математических
теорий: наряду с объектами подлежат изучению их морфизмы. Тео-
рия двойственности не является исключением. Объектами в линей-
ной алгебре служат конечномерные линейные пространства. Каж-
дому из к.л.п. мы сопоставили двойственное к.л.п. Морфизмы ли-
нейных пространств — это линейные отображения (или, как они еще
называются: линейные гомоморфизмы, линейные операторы). Ни-
же каждому линейному оператору будет сопоставлен двойственный
§ 33     Двойственный оператор. Теорема Фредгольма              417

   Докажем соотношение (5а). Каждое из подпространств, M1 и
M2 , содержится в сумме M1 + M2 . Значит, в силу (3а), аннулятор
(M1 + M2 )◦ содержится в каждом из аннуляторов, M1◦ и M2◦ , и, сле-
довательно, — в их пересечении.
   Тем самым доказано включение (M1 + M2 )◦ ⊆ M1◦ ∩ M2◦ .
   Для доказательства противоположного включения возьмем про-
извольную форму f ∈ M1◦ ∩ M2◦ . Форма f аннулируется как на M1 ,
так и на M2 . Значит, она аннулируется на M1 + M2 (в самом де-
ле, всякий элемент x ∈ M1 + M2 представляется в виде x = y + z,
где y ∈ M1 и z ∈ M2 ; поэтому f (x) = f (y + z) = f (y) + f (z) = 0).
Следовательно, f ∈ (M1 + M2 )◦ .
   Наметим доказательство (5b). Первое включение получаем, руко-
водствуясь теми же соображениями, что и при доказательстве (5а).
Второе включение, (N1 + N2 )◦ ⊇ N1◦ ∩ N2◦ , обосновывается так: если
вектор x принадлежит обоим аннуляторам, N1◦ и N2◦ , то на нем ан-
нулируются любая форма f ∈ N1 и любая форма g ∈ N2 , а значит, —
и любая форма h = f + g ∈ N1 + N2 , т. е. x принадлежит аннулятору
суммы.
   Переходим к доказательству утверждения (6a). Представим дан-
ные подпространства M1 , M2 6 V как аннуляторы, M1 = N1◦ и
M2 = N2◦ , некоторых подпространств N1 , N2 6 V ∗ и воспользуем-
ся ранее доказанными утверждениями:
                          (5b)             (4b)
(M1 ∩ M2 )◦ = (N1◦ ∩ N2◦ )◦ == (N1 + N2 )◦◦ == N1 + N2 = M1◦ + M2◦ .
   Доказательство (6b) совершенно аналогично. ¤



       § 33. Двойственный линейный оператор.
                   Теорема Фредгольма
   33.1. Понятие двойственного линейного оператора. Мы
уже не раз подчеркивали характерную особенность математических
теорий: наряду с объектами подлежат изучению их морфизмы. Тео-
рия двойственности не является исключением. Объектами в линей-
ной алгебре служат конечномерные линейные пространства. Каж-
дому из к.л.п. мы сопоставили двойственное к.л.п. Морфизмы ли-
нейных пространств — это линейные отображения (или, как они еще
называются: линейные гомоморфизмы, линейные операторы). Ни-
же каждому линейному оператору будет сопоставлен двойственный

Страницы