Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 416 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

416 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
будучи линейным подпространством совпадает со своим вторым ан-
нулятором, что и доказывает формулу (a). ¤
Замечание 32.2. Равенства (a) и (b) приводят к тому, что для
любого подмножества (в V или в V
∗
) его третий аннулятор совпа-
дает с первым. Для подпространств же имеет место более сильное
свойство: второй аннулятор равен исходному подпространству.
32.4. Соотношения двойственности. Рассмотрим соответст-
вие между подпространствами в к.л.п. V и подпространствами в
двойственном подпространстве V
∗
, заданное сопоставлением произ-
вольному подпространству его аннулятора:
V > M
◦
7−→ M
◦
6 V
∗
;
V > N
◦
◦
←−
|
N 6 V
∗
.
(32.35)
Это соответствие можно назвать
— антиизотонным (за то, что оно обращает знаки включений
между подпространствами);
— инволютивным (под этим понимается его самообратность: по-
вторное взятие аннулятора возвращает нас к исходному подпрост-
ранству).
Перечесленные выше и некоторые другие свойства соответствия
◦
мы соберем в следующее
Предложение 32.5. Соответствие (32.35) является биективным,
антиизотонным, инволютивным и переводит суммы подпространств
в пересечения и обратно. Точнее, для любых M, M
1
, M
2
6 V и
N, N
1
, N
2
6 V
∗
справедливы следующие утверждения:
(1a) (M = O) ⇒ (M
◦
= V
∗
); (1b) (N = O) ⇒ (N
◦
= V );
(2a) (M = V ) ⇒ (M
◦
= O); (2b) (N = V
∗
) ⇒ (N
◦
= O);
(3a) (M
1
6 M
2
) ⇒ (M
◦
1
> M
◦
2
); (3b) (N
1
6 N
2
) ⇒ (N
◦
1
> N
◦
2
);
(4a) M
◦◦
= M; (4b) N
◦◦
= N;
(5a) (M
1
+ M
2
)
◦
= M
◦
1
∩ M
◦
2
; (5b) (N
1
+ N
2
)
◦
= N
◦
1
∩ N
◦
2
;
(6a) (M
1
∩ M
2
)
◦
= M
◦
1
+ M
◦
2
; (6b) (N
1
∩ N
2
)
◦
= N
◦
1
+ N
◦
2
.
Доказательство. Утверждения (1a) — (2b) совершенно очевид-
ны: на нулевом подпространстве (и только на нем) аннулируются
все формы; нулевая форма (и только она) аннулируется везде.
Свойства (3a) — (4b) установлены ранее (см. утверждения (2а) и
(2b) предложения 32.2, а таже утверждения предложения 32.2, с те-
ми же номерами). Поясним только, что биективность соответствия
◦
вытекает из его обратимости (самообратности).
416       Линейные, билинейные и квадратичные формы                     Гл. 4

будучи линейным подпространством совпадает со своим вторым ан-
нулятором, что и доказывает формулу (a). ¤
   Замечание 32.2. Равенства (a) и (b) приводят к тому, что для
любого подмножества (в V или в V ∗ ) его третий аннулятор совпа-
дает с первым. Для подпространств же имеет место более сильное
свойство: второй аннулятор равен исходному подпространству.
  32.4. Соотношения двойственности. Рассмотрим соответст-
вие между подпространствами в к.л.п. V и подпространствами в
двойственном подпространстве V ∗ , заданное сопоставлением произ-
вольному подпространству его аннулятора:
                                    ◦
                         V > M 7−→ M ◦ 6 V ∗ ;
                                    ◦
                                                                      (32.35)
                         V > N ◦ ←−| N 6 V ∗ .
  Это соответствие можно назвать
  — антиизотонным (за то, что оно обращает знаки включений
между подпространствами);
  — инволютивным (под этим понимается его самообратность: по-
вторное взятие аннулятора возвращает нас к исходному подпрост-
ранству).
  Перечесленные выше и некоторые другие свойства соответствия ◦
мы соберем в следующее

  Предложение 32.5. Соответствие (32.35) является биективным,
антиизотонным, инволютивным и переводит суммы подпространств
в пересечения и обратно. Точнее, для любых M, M1 , M2 6 V и
N, N1 , N2 6 V ∗ справедливы следующие утверждения:
(1a)   (M = O) ⇒ (M ◦ = V ∗ );          (1b)   (N = O) ⇒ (N ◦ = V );
(2a)   (M = V ) ⇒ (M ◦ = O);            (2b)   (N = V ∗ ) ⇒ (N ◦ = O);
(3a)   (M1 6 M2 ) ⇒ (M1◦ > M2◦ );       (3b)   (N1 6 N2 ) ⇒ (N1◦ > N2◦ );
(4a)   M ◦◦ = M ;                       (4b)   N ◦◦ = N ;
(5a)   (M1 + M2 )◦ = M1◦ ∩ M2◦ ;        (5b)   (N1 + N2 )◦ = N1◦ ∩ N2◦ ;
(6a)   (M1 ∩ M2 )◦ = M1◦ + M2◦ ;        (6b)   (N1 ∩ N2 )◦ = N1◦ + N2◦ .
   Доказательство. Утверждения (1a) — (2b) совершенно очевид-
ны: на нулевом подпространстве (и только на нем) аннулируются
все формы; нулевая форма (и только она) аннулируется везде.
   Свойства (3a) — (4b) установлены ранее (см. утверждения (2а) и
(2b) предложения 32.2, а таже утверждения предложения 32.2, с те-
ми же номерами). Поясним только, что биективность соответствия ◦
вытекает из его обратимости (самообратности).

Страницы