Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 418 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

418 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
линейный оператор, будут изучены свойства двойственных операто-
ров, исследованы связи между различными алгебраическими харак-
теристиками для исходного оператора и для двойственного к нему.
Пусть V и W — два линейных пространства (над одним и тем же
полем P ). Рассмотрим некоторый линейный оператор
ϕ : V −→ W. (33.1)
Для любой линейной формы
g : W −→ P (33.2)
можно, взяв ее композицию с оператором ϕ, получить линейную
форму
f = g ◦ϕ : V −→ P. (33.3)
Следующая диаграмма иллюстрирует описаннное выше построе-
ние формы f ∈ V
∗
по форме g ∈ W
∗
.
Диагр. 33.1
P
%f g-
V
ϕ
−−−−→W
Так возникает отображение двойственных пространств:
ϕ
∗
: W
∗
−→ V
∗
; g 7→ g ◦ϕ; g ∈ W
∗
. (33.4)
Легко убедиться в том, что (33.4) является линейным операто-
ром. В самом деле, для любых форм g
1
, g
2
∈ W
∗
и любых скаляров
λ
1
, λ
2
∈ P получается (с использованием законов (i) — (xiii) алгебры
линейных операторов; см. предложение 12.1):
ϕ
∗
(λ
1
g
1
+ λ
2
g
2
) =
= (λ
1
g
1
+ λ
2
g
2
) ◦ ϕ = λ
1
(g
1
◦ ϕ) + λ
2
(g
2
◦ ϕ) =
= λ
1
ϕ
∗
(g
1
) + λ
2
ϕ
∗
(g
2
).
418      Линейные, билинейные и квадратичные формы                      Гл. 4

линейный оператор, будут изучены свойства двойственных операто-
ров, исследованы связи между различными алгебраическими харак-
теристиками для исходного оператора и для двойственного к нему.
  Пусть V и W — два линейных пространства (над одним и тем же
полем P ). Рассмотрим некоторый линейный оператор

                               ϕ : V −→ W.                              (33.1)

  Для любой линейной формы

                               g : W −→ P                               (33.2)

можно, взяв ее композицию с оператором ϕ, получить линейную
форму
                      f = g ◦ ϕ : V −→ P.              (33.3)

  Следующая диаграмма иллюстрирует описаннное выше построе-
ние формы f ∈ V ∗ по форме g ∈ W ∗ .
                                                                 Диагр. 33.1
                                      P
                                 %f  g-
                                   ϕ
                               V −−−−→ W


  Так возникает отображение двойственных пространств:

                  ϕ∗ : W ∗ −→ V ∗ ; g 7→ g ◦ ϕ; g ∈ W ∗ .               (33.4)

    Легко убедиться в том, что (33.4) является линейным операто-
ром. В самом деле, для любых форм g1 , g2 ∈ W ∗ и любых скаляров
λ1 , λ2 ∈ P получается (с использованием законов (i) — (xiii) алгебры
линейных операторов; см. предложение 12.1):

  ϕ∗ (λ1 g1 + λ2 g2 ) =
             = (λ1 g1 + λ2 g2 ) ◦ ϕ = λ1 (g1 ◦ ϕ) + λ2 (g2 ◦ ϕ) =
                                                 = λ1 ϕ∗ (g1 ) + λ2 ϕ∗ (g2 ).

Страницы