Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 420 стр.

420      Линейные, билинейные и квадратичные формы                       Гл. 4

                                                                  Диагр. 33.2
                                     P
                        g ◦ϕ1 %%g ◦ϕ2   g-
                                    ϕ1
                            V −−−−−−−−−−−→ W
                                    ϕ2

   Собственно доказательство состоит в проверке выполнения равен-
ства (33.8) на произвольной форме g ∈ W ∗ :

  (λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 )∗ (g) =
 = (λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 ) ◦ g = λ1 (ϕ1 ◦ g) + λ2 (ϕ2 ◦ g) = λ1 ϕ∗1 (g) + λ2 ϕ∗2 (g) =
                                                      = (λ1 ϕ∗1 + λ2 ϕ∗2 )(g),

где снова сработали законы (i) — (xiii) для алгебраических действий
над линейными операторами.
   3. Доказательство третьего утверждения также начнем с диа-
граммной иллюстрации.
                                                        Диагр. 33.3
                                 P
                     g ◦ψ ◦ϕ % ↑g ◦ψ -g
                         V −−−→ W −−−→ U
                             ϕ        ψ

  Проверка (33.9) на произвольной форме g ∈ W ∗ :

  (ψ ◦ ϕ)∗ (g) =
         = g ◦ (ψ ◦ ϕ) = (g ◦ ψ) ◦ ϕ = ψ ∗ (g) ◦ ϕ = ϕ∗ (ψ ∗ (g)) =
                                                        = (ϕ∗ ◦ ψ ∗ ) (g). ¤

   Замечание 33.1.∗ К неудовольствию автора в данном замечании
сошлись:
   — звездочка как знак необязательности (или повышенной слож-
ности) материала и
   — звездочка как математический символ, обозначающий переход
к двойственному объекту.
   Второй двойственный к оператору (33.1) определяется как двой-
ственный к первому двойственному:

                        ϕ∗∗ = (ϕ∗ )∗ : V ∗∗ −→ W ∗∗ .                   (33.10)