Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 422 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

422 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
33.2. Матрица двойственного оператора. Пусть V и W яв-
ляются конечномерными линейными пространствами (размерностей
n и m соответственно, над полем P ); пусть в них зафиксированы
базисы
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] (33.16)
и
C = [ c
1
, c
2
, ... , c
m
]. (33.17)
В двойственных пространствах рассмотрим двойственные базисы
B
∗
= [ b
∗
1
, b
∗
2
, ... , b
∗
n
] (33.16
∗
)
и
C
∗
= [ c
∗
1
, c
∗
2
, ... , c
∗
m
]. (33.17
∗
)
Рассмотрим далее линейный оператор ϕ : V → W и двойственный
оператор ϕ
∗
: W
∗
→ V
∗
.
Предложение 33.2. Если оператору ϕ в базисах (33.16) и (33.17)
отвечает матрица A
m×n
, то оператору ϕ
∗
отвечает в базисах (33.16
∗
)
и (33.17
∗
) транспонированная матрица A
t
n×m
.
Доказательство. Введем временное обозначение S для матрицы
двойственного оператора. Нам надо доказать равенство S = A
t
.
Очевидно, что матрица S должна иметь именно такие размеры, ка-
кие имеет транспонированная матрица; так что остается проверить
поэлементное совпадение:
s
ji
= a
ij
; i = 1, ... , m; j = 1, ... , n. (33.18)
Согласно правилу составления матрицы линейного отображения
[см. (12.7)], имеем:
ϕ(b
j
) =
m
X
k =1
a
kj
c
k
, (33.19)
где
a
kj
= [ϕ(b
j
)]
k
, (33.20)
и, аналогично,
ϕ
∗
(c
∗
i
) =
n
X
j=1
s
ji
b
∗
j
, (33.21)
422      Линейные, билинейные и квадратичные формы                  Гл. 4

  33.2. Матрица двойственного оператора. Пусть V и W яв-
ляются конечномерными линейными пространствами (размерностей
n и m соответственно, над полем P ); пусть в них зафиксированы
базисы
                       B = [ b1 , b2 , ... , bn ]       (33.16)
и
                          C = [ c1 , c2 , ... , cm ].              (33.17)
    В двойственных пространствах рассмотрим двойственные базисы

                          B ∗ = [ b∗1 , b∗2 , ... , b∗n ]         (33.16∗ )

и
                          C ∗ = [ c∗1 , c∗2 , ... , c∗m ].        (33.17∗ )
  Рассмотрим далее линейный оператор ϕ : V → W и двойственный
оператор ϕ∗ : W ∗ → V ∗ .

  Предложение 33.2. Если оператору ϕ в базисах (33.16) и (33.17)
отвечает матрица A , то оператору ϕ∗ отвечает в базисах (33.16 ∗)
                  m×n
и (33.17 ) транспонированная матрица At .
        ∗
                                                         n×m

  Доказательство. Введем временное обозначение S для матрицы
двойственного оператора. Нам надо доказать равенство S = At .
Очевидно, что матрица S должна иметь именно такие размеры, ка-
кие имеет транспонированная матрица; так что остается проверить
поэлементное совпадение:

                 sji = aij ; i = 1, ... , m; j = 1, ... , n.       (33.18)

   Согласно правилу составления матрицы линейного отображения
[см. (12.7)], имеем:
                                 m
                                 X
                        ϕ(bj ) =   akj ck ,             (33.19)
                                            k=1
где
                               akj = [ϕ(bj )]k ,                   (33.20)
и, аналогично,
                                                n
                                                X
                               ∗
                           ϕ       (c∗i )   =         sji b∗j ,    (33.21)
                                                j=1

Страницы