Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 414 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

414 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Доказательство. 1a. Пусть dim(V ) = n и dim(M) = k. Докажем,
что
dim(M
◦
) = codim(M) = n −k. (32.26)
Выберем произвольный базис
B
0
= [ b
1
, ... , b
k
] (32.27)
в подпространстве M и продолжим его (см. п. 5.4) до базиса
B = [ b
1
, ... , b
k
; b
k +1
, ... , b
n
] (32.28)
во всем пространстве V, а затем рассмотрим двойственный базис
B
∗
= [ b
∗
1
, ... , b
∗
k
; b
∗
k+1
, ... , b
∗
n
] (32.29)
в пространстве V
∗
. Утверждение (32.26) будет доказано, если мы
убедимся, что система векторов (или, точнее, ковекторов)
C = [ b
∗
k+1
, ... , b
∗
n
] (32.30)
является базисом в аннуляторе M
◦
.
Тот факт, что линейные формы b
∗
j
(j = k + 1, ... , n) принадле-
жат M
◦
вытекает из соотношений (31.12): при i = 1, ... , k форма b
∗
j
аннулируется на векторах b
i
и, следовательно, на всех векторах под-
пространства M = hB
0
i.
Далее, с.в. (32.30) линейно независима, т.к. является подсистемой
в базисе (32.29). Остается убедиться в том, что она порождает M
◦
.
Это усматривается из представления [см. (31.17)]:
f =
n
X
j=1
α
j
b
∗
j
; f ∈ V
∗
; α
j
= f(b
j
), (32.31)
которое для f ∈ M
◦
сокращается до представления
f =
n
X
j=k+1
α
j
b
∗
j
, (32.32)
свидетельствующего о том, что f линейно выражается через C.
1b. Наметим основные этапы доказательства. (Восстановление
подробностей поручается читателям.)
414     Линейные, билинейные и квадратичные формы                   Гл. 4

  Доказательство. 1a. Пусть dim(V ) = n и dim(M ) = k. Докажем,
что
                dim(M ◦ ) = codim(M ) = n − k.           (32.26)
  Выберем произвольный базис

                             B 0 = [ b1 , ... , bk ]               (32.27)

в подпространстве M и продолжим его (см. п. 5.4) до базиса

                     B = [ b1 , ... , bk ; bk+1 , ... , bn ]       (32.28)

во всем пространстве V, а затем рассмотрим двойственный базис

                    B∗ = [ b∗1 , ... , b∗k ; b∗k+1 , ... , b∗n ]   (32.29)

в пространстве V ∗ . Утверждение (32.26) будет доказано, если мы
убедимся, что система векторов (или, точнее, ковекторов)

                            C = [ b∗k+1 , ... , b∗n ]              (32.30)

является базисом в аннуляторе M ◦ .
   Тот факт, что линейные формы b∗j (j = k + 1, ... , n) принадле-
жат M ◦ вытекает из соотношений (31.12): при i = 1, ... , k форма b∗j
аннулируется на векторах bi и, следовательно, на всех векторах под-
пространства M = hB0 i.
   Далее, с.в. (32.30) линейно независима, т.к. является подсистемой
в базисе (32.29). Остается убедиться в том, что она порождает M ◦ .
Это усматривается из представления [см. (31.17)]:
                      n
                      X
                 f=         αj b∗j ; f ∈ V ∗ ; αj = f (bj ),       (32.31)
                      j=1


которое для f ∈ M ◦ сокращается до представления
                                      n
                                      X
                              f=              αj b∗j ,             (32.32)
                                    j=k+1


свидетельствующего о том, что f линейно выражается через C.
  1b. Наметим основные этапы доказательства. (Восстановление
подробностей поручается читателям.)

Страницы