Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 412 стр.

412       Линейные, билинейные и квадратичные формы                   Гл. 4

   Определение 32.2. Аннулятором подмножества N ⊆ V называ-
ется подмножество N ◦ ⊆ V , состоящее из таких векторов, на кото-
рых обращаются в нуль все линейные формы из множества N, т. е.

                  N ◦ = {x ∈ V : (∀ f ∈ N ) [ f (x) = 0 ]}.         (32.24)

   Внимательно сопоставьте описания (32.21) и (32.24): в каждом из
них фигурирует (в квадратных скобках) одно и то же определяющее
условие [ f (x) = 0 ]; отличаются они по тому, какая из переменных,
x или f , связывается квантором ∀.
   Заметим далее, что аннуляторы можно брать повторно. Скажем,
начав с подмножества M ⊆ V, мы получим, в соответствии с (32.21),
аннулятор M ◦ ⊂ V ∗ , которому, в соответствии с (32.24), будет соот-
ветствовать второй аннулятор

                              M ◦◦ = (M ◦ )◦ ,                      (32.25)

снова содержащийся в пространстве V.
   Подобным же образом можно действовать, начиная с подмноже-
ства N ⊆ V ∗ .
   Важнейшим свойством аннуляторов является то, что для любо-
го подмножества его аннулятор является уже подпространством.
Более точно мы сформулируем это свойство (и ряд других) в пред-
ложении 32.2 ниже. Обратите внимание на группировку материала
в два столбца. Здесь наблюдается одно из замечательных математи-
ческих явлений — двойственность. Подробнее о нем будет сказано
в следующем прараграфе (см. п. 33.5).

   Предложение 32.2. Операция взятия аннулятора подмножест-
ва обладает (для любых M, M1 , M2 ⊆ V ; N, N1 , N2 ⊆ V ∗ ) следую-
щими свойствами:
(1a)   M ◦ 6 V ∗;                     (1b)   N◦ 6 V ;
(2a)   (M1 ⊆ M2 ) ⇒ (M1◦ > M2◦ );     (2b)   (N1 ⊆ N2 ) ⇒ (N1◦ > N2◦ );
(3a)   M ◦ = hM i◦ ;                  (3b)   N ◦ = hN i◦ ;
(4a)   M ⊆ M ◦◦ ;                     (4b)   N ⊆ N ◦◦ .
   Доказательство. 1a. Докажем, что аннулятор любого подмноже-
ства в V является линейным подпространством в V ∗ . В самом деле,
если f, g ∈ M ◦ , т. е. f (x) = g(x) = 0 для любого x ∈ M, то для лю-
бых скаляров λ, µ ∈ P форма λf + µg также аннулируется на любом
векторе x ∈ M, и, следовательно, принадлежит M ◦ .