Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 410 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

410 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Предложение 32.1. Всякий базис в двойственном пространстве
является двойственным для некоторого базиса в исходном простран-
стве.
Доказательство. Рассмотрим произвольный базис
F = [ f
1
, f
2
, ... , f
n
] (32.13)
в пространстве V
∗
. Требуется доказать, что найдется такой базис B
[см. (31.1)] в пространстве V, что
B
∗
= F. (32.14)
Возьмем в пространстве V
∗∗
базис
F
∗
= [ f
∗
1
, f
∗
2
, ... , f
∗
n
], (32.15)
двойственный к F, т. е. связанный с ним соотношениями
f
∗
j
(f
k
) = δ
jk
; j, k = 1, ... , n. (32.16)
Далее, пользуясь теоремой 31.1, применим к векторам базиса
(32.15) изоморфизм κ
−1
, обратный к изоморфизму (32.3). В резуль-
тате этого, по свойствам линейных изоморфизмов (см. предложе-
ние 6.1), будет получен некоторый базис
B = κ
−1
(F
∗
) (32.17)
в пространстве V.
Базис (32.17) состоит из таких векторов b
k
(k = 1, ... , n), что
κ(b
k
) = f
∗
k
. (32.18)
Докажем, что именно он будет искомым базисом, удовлетворяю-
щим условию (32.14), которое переписывается в виде:
b
∗
j
= f
j
; j = 1, ... , n. (32.19)
Соотношения (32.19) являются равенствами в V
∗
, т. е. равенства-
ми линейных форм, и проверять их следует на произвольном век-
торе x ∈ V, причем достаточно проверки на базисных векторах b
k
(k = 1, ... , n):
b
∗
j
(b
k
) = f
j
(b
k
); j, k = 1, ... , n. (32.20)
Левая часть (32.20), по определению двойственного базиса, рав-
на δ
jk
. Чтобы вычислить правую часть, воспользуемся определением
изоморфизма κ [см. (32.3)]:
f
j
(b
k
)
(32.3)
=== κ(b
k
) (f
j
)
(32.18)
=== f
∗
k
(f
j
)
(32.16)
=== δ
kj
.
Соотношения (32.20), а значит и предложение в целом, доказа-
ны. ¤
410     Линейные, билинейные и квадратичные формы                          Гл. 4

   Предложение 32.1. Всякий базис в двойственном пространстве
является двойственным для некоторого базиса в исходном простран-
стве.
  Доказательство. Рассмотрим произвольный базис
                              F = [ f1 , f2 , ... , fn ]                  (32.13)
в пространстве V ∗ . Требуется доказать, что найдется такой базис B
[см. (31.1)] в пространстве V, что
                                      B ∗ = F.                            (32.14)
  Возьмем в пространстве V ∗∗ базис
                             F ∗ = [ f1∗ , f2∗ , ... , fn∗ ],             (32.15)
двойственный к F, т. е. связанный с ним соотношениями
                      fj∗ (fk ) = δjk ; j, k = 1, ... , n.                (32.16)
   Далее, пользуясь теоремой 31.1, применим к векторам базиса
(32.15) изоморфизм κ −1 , обратный к изоморфизму (32.3). В резуль-
тате этого, по свойствам линейных изоморфизмов (см. предложе-
ние 6.1), будет получен некоторый базис
                                  B = κ −1 (F ∗ )                         (32.17)
в пространстве V.
   Базис (32.17) состоит из таких векторов bk (k = 1, ... , n), что
                                    κ(bk ) = fk∗ .                        (32.18)
  Докажем, что именно он будет искомым базисом, удовлетворяю-
щим условию (32.14), которое переписывается в виде:
                             b∗j = fj ; j = 1, ... , n.                   (32.19)
   Соотношения (32.19) являются равенствами в V ∗ , т. е. равенства-
ми линейных форм, и проверять их следует на произвольном век-
торе x ∈ V, причем достаточно проверки на базисных векторах bk
(k = 1, ... , n):
                  b∗j (bk ) = fj (bk ); j, k = 1, ... , n.    (32.20)
   Левая часть (32.20), по определению двойственного базиса, рав-
на δjk . Чтобы вычислить правую часть, воспользуемся определением
изоморфизма κ [см. (32.3)]:
                    (32.3)                  (32.18)             (32.16)
             fj (bk ) === κ(bk ) (fj ) === fk∗ (fj ) === δkj .
  Соотношения (32.20), а значит и предложение в целом, доказа-
ны. ¤

Страницы