Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 409 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 32 Теория двойственности 409
3. Остается доказать, что отображение (32.2) является изомор-
физмом. Согласно теореме 6.1 (ОТЛО), для этого достаточно убе-
диться в том, что κ переводит некоторый базис в пространстве V в
некоторый базис в V
∗∗
.
(Подчеркнем следующее обстоятельство: определение κ является
инвариантным, не зависит от "случайных факторов", типа выбора
базисов. Однако это совершенно не исключает использования бази-
сов при изучении его свойств. Более того, без привлечения базисов
невозможны какие-либо практические вычисления.)
Возьмем в пространстве V произвольный базис B [см. (31.1)], в
пространстве V
∗
— двойственный базис B
∗
[см. (31.13)], связанный
с B соотношениями (31.12), а в пространстве V
∗∗
— базис
B
∗∗
= [ b
∗∗
1
, b
∗∗
2
, ... , b
∗∗
n
], (32.7)
двойственный к базису B
∗
и связанный с ним [аналогичными (31.12)]
соотношениями
b
∗∗
j
(b
∗
k
) = δ
jk
; j, k = 1, ... , n. (32.8)
Докажем, что
κ(B) = B
∗∗
, (32.9)
т. е.
κ(b
j
) = b
∗∗
j
(32.10)
для любого j = 1, ... , n.
Равенство (32.10) подлежит проверке на любой форме f ∈ V
∗
:
κ(b
j
) (f) = b
∗∗
j
(f). (32.11)
Достаточно, однако, проверить выполнение (32.11) на базисных
формах, т. е. взять f = b
∗
k
, с произвольным k = 1, ... , n:
κ(b
j
) (b
∗
k
) = b
∗∗
j
(b
∗
k
). (32.12)
Левая часть (32.11) вычисляется по определению 32.3:
κ(b
j
) (b
∗
k
) = b
∗
k
(b
j
)
(31.12)
=== δ
kj
,
что, очевидно, совпадает со значением δ
jk
, принимаемым [в соответ-
ствии с (32.8)] правой частью.
Итак, соотношение (32.12) доказано и этим завершается доказа-
тельство всей теоремы. ¤
Непосредственным следствием теоремы 32.1 является
§ 32                 Теория двойственности                    409

   3. Остается доказать, что отображение (32.2) является изомор-
физмом. Согласно теореме 6.1 (ОТЛО), для этого достаточно убе-
диться в том, что κ переводит некоторый базис в пространстве V в
некоторый базис в V ∗∗ .
   (Подчеркнем следующее обстоятельство: определение κ является
инвариантным, не зависит от "случайных факторов", типа выбора
базисов. Однако это совершенно не исключает использования бази-
сов при изучении его свойств. Более того, без привлечения базисов
невозможны какие-либо практические вычисления.)
   Возьмем в пространстве V произвольный базис B [см. (31.1)], в
пространстве V ∗ — двойственный базис B∗ [см. (31.13)], связанный
с B соотношениями (31.12), а в пространстве V ∗∗ — базис
                      B ∗∗ = [ b∗∗   ∗∗         ∗∗
                                1 , b2 , ... , bn ],         (32.7)
двойственный к базису B ∗ и связанный с ним [аналогичными (31.12)]
соотношениями
                   b∗∗  ∗
                    j (bk ) = δjk ; j, k = 1, ... , n.      (32.8)
   Докажем, что
                             κ(B) = B ∗∗ ,                   (32.9)
т. е.
                             κ(bj ) = b∗∗
                                       j                    (32.10)
для любого j = 1, ... , n.
  Равенство (32.10) подлежит проверке на любой форме f ∈ V ∗ :
                         κ(bj ) (f ) = b∗∗
                                        j (f ).             (32.11)
  Достаточно, однако, проверить выполнение (32.11) на базисных
формах, т. е. взять f = b∗k , с произвольным k = 1, ... , n:
                        κ(bj ) (b∗k ) = b∗∗  ∗
                                         j (bk ).           (32.12)
   Левая часть (32.11) вычисляется по определению 32.3:
                                          (31.12)
                   κ(bj ) (b∗k ) = b∗k (bj ) === δkj ,
что, очевидно, совпадает со значением δjk , принимаемым [в соответ-
ствии с (32.8)] правой частью.
   Итак, соотношение (32.12) доказано и этим завершается доказа-
тельство всей теоремы. ¤
   Непосредственным следствием теоремы 32.1 является

Страницы