Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 408 стр.

408     Линейные, билинейные и квадратичные формы                    Гл. 4

   Но надо быть математиком, чтобы совершив логическое salto mor-
tale, перейти к рассмотрению выражения f (x) как функции от функ-
ции f . При этом аргумент x считается фиксированным, а функция f
является произвольной (в каком-то классе).
   Другими словами, фиксация значения аргумента x задает функ-
цию, сопоставляющую функции f ее значение f (x).
   Именно это выражает левая часть формулы (32.3).
  Доказательство. 1. Убедимся в том, что κ(x) действительно яв-
ляется линейной формой на линейных формах, т. е. докажем линей-
ность по f для выражения f (x) в правой части (32.3).
  В самом деле, по определению κ, для любых скаляров λ, µ ∈ P и
любых линейных форм f, g ∈ V ∗ справедливо:

  κ(x) (λf + µg) = (λf + µg)(x) = λf (x) + µg(x) =
                 = λ κ(x) (f ) + µ κ(x) (f ) = λ κ(x) (f ) + µ κ(x) (f ),

и, таким образом, оказывается, что для любого x ∈ V формула (32.3)
определяет элемент κ(x) ∈ V ∗∗ .
   2. Докажем теперь линейность отображения (32.2), т. е. свойство

                    κ(αx + βy) = ακ(x) + βκ(y),                      (32.4)

для любых скаляров α, β ∈ P и любых векторов x, y ∈ V.
   Равенство (32.4) есть равенство в пространстве V ∗∗ , т. е. равен-
ство линейных форм на линейных формах, и проверять его надо на
произвольной линейной форме f ∈ V ∗ :

               κ(αx + βy) (f ) = (ακ(x) + βκ(y)) (f ).               (32.5)

   Используя определение (32.2), а также определения алгебраиче-
ских действий над линейными формами, мы можем привести (32.5)
к равносильному виду:

                    f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).                   (32.6)

   Равенство (32.6) выражает не что иное, как линейность формы f
и, по условию, справедливо. Значит, справедливо и (32.4). Наш
второй результат можно выразить в том же ключе, что и первый:
правая часть (32.3) линейна по x.