Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 407 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 32 Теория двойственности 407
конструкции) может быть итерирована. Второе двойственное про-
странство определяется как пространство, двойственное к (первому)
двойственному пространству:
V
∗∗
= (V
∗
)
∗
; (32.1)
можно определить третье, четвертое и т. д. двойственные простран-
ства. В конечномерном случае, в силу предложения 31.1, все они
изоморфны между собой (хотя и не канонически). Однако при бо-
лее детальном рассмотрении второго двойственного пространства
(32.1) обнаруживается канонический (не зависящий от выбора ба-
зисов) изоморфизм между пространствами V и V
∗∗
.
Точнее, справедлива следующая
Теорема 32.1. Пусть V — конечномерное линейное пространство
над полем P. Существует канонический изоморфизм
κ : V
∼
=
−→ V
∗∗
(32.2)
пространства V на его второе сопряженное пространство V
∗∗
, сопо-
ставляющий всякому вектору x ∈ V линейную форму κ(x) ∈ V
∗∗
,
действующую на линейные формы f ∈ V
∗
по принципу: значение
κ(x) на f равно значению f на x:
κ(x) (f) = f(x) (32.3)
для любых x ∈ V ; f ∈ V
∗
.
Замечание 32.1. Прежде чем приступать к доказательству теоре-
мы, автору хотелось бы заострить внимание читетелей на некоторых
особенностях математического мышления (математического подхо-
да к жизни).
Посмотрите на правую часть f(x) формулы (32.3). Ее смысл ясен
не только математикам, но и всем людям, способным к восприя-
тию (школьного) понятия функции. (А ученые-педагоги утвержда-
ют, что школьная математика доступна для 100% здоровых молодых
людей, вне зависимости от пола и расы.)
Итак, при обычной трактовке, в правой части мы имеем пере-
менную x, пробегающую какое-то множество, и (фиксированную)
функцию f от этой переменной, которая при каждом конкретном
значении x принимает определенное значение f(x), принадлежащее
какому-либо другому множеству.
§ 32                  Теория двойственности                  407

конструкции) может быть итерирована. Второе двойственное про-
странство определяется как пространство, двойственное к (первому)
двойственному пространству:

                               V ∗∗ = (V ∗ )∗ ;             (32.1)

можно определить третье, четвертое и т. д. двойственные простран-
ства. В конечномерном случае, в силу предложения 31.1, все они
изоморфны между собой (хотя и не канонически). Однако при бо-
лее детальном рассмотрении второго двойственного пространства
(32.1) обнаруживается канонический (не зависящий от выбора ба-
зисов) изоморфизм между пространствами V и V ∗∗ .
   Точнее, справедлива следующая

  Теорема 32.1. Пусть V — конечномерное линейное пространство
над полем P. Существует канонический изоморфизм
                                       ∼
                                       =
                              κ : V −→ V ∗∗                 (32.2)

пространства V на его второе сопряженное пространство V ∗∗ , сопо-
ставляющий всякому вектору x ∈ V линейную форму κ(x) ∈ V ∗∗ ,
действующую на линейные формы f ∈ V ∗ по принципу: значение
κ(x) на f равно значению f на x:

                              κ(x) (f ) = f (x)             (32.3)

для любых x ∈ V ; f ∈ V ∗ .
   Замечание 32.1. Прежде чем приступать к доказательству теоре-
мы, автору хотелось бы заострить внимание читетелей на некоторых
особенностях математического мышления (математического подхо-
да к жизни).
   Посмотрите на правую часть f (x) формулы (32.3). Ее смысл ясен
не только математикам, но и всем людям, способным к восприя-
тию (школьного) понятия функции. (А ученые-педагоги утвержда-
ют, что школьная математика доступна для 100% здоровых молодых
людей, вне зависимости от пола и расы.)
   Итак, при обычной трактовке, в правой части мы имеем пере-
менную x, пробегающую какое-то множество, и (фиксированную)
функцию f от этой переменной, которая при каждом конкретном
значении x принимает определенное значение f (x), принадлежащее
какому-либо другому множеству.

Страницы