Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 406 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

406 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
манипуляции с двойными суммами (в частности, изменив порядок
суммирования в правой части), мы придем к равенству
n
X
i=1
n
X
j=1
t
ij
x
0
j
b
∗
i
=
n
X
i=1
n
X
j=1
s
ji
x
0
j
b
∗
i
, (31.25)
которое (в силу того факта, что B
∗
есть базис) равносильно системе
соотношений
n
X
j=1
t
ij
x
0
j
=
n
X
j=1
s
ji
x
0
j
; i = 1, ... , n. (31.26)
Представим (31.26) в векторном виде:
T · x
0
= S
t
· x
0
. (31.27)
Равенство (31.27) должно выполняться тождественно по x
0
∈ P
n
(поскольку если x пробегает всё V , то соответствующий координат-
ный столбец пробегает всё P
n
). Значит, должны совпадать матри-
цы T и S
t
= (T
−1
)
t
, или, что равносильно, для матрицы T должны
совпадать обратная и транспонированная матрицы:
T
−1
= T
t
. (31.28)
Условие (31.28) выполняется далеко не всегда. (Сами придумай-
те простой (2 ×2)-контрпример.) Однако случай, когда оно все-таки
выполняется, весьма интересен. Забегая вперед (см. п. 40.2), мы
укажем название для обратимых квадратных матриц, удовлетворя-
ющих (31.28), — ортогональные матрицы. Матрицы такого типа (и
соответствующие операторы) будут играть исключительно важную
роль в линейной геометрии (точнее, в той ее главе, которую принято
именовать евклидовой геометрией).
§
§
§ 32. Теория двойственности
32.1. Второе двойственное пространство. Канонический
изоморфизм к.л.п. на его второе двойственное. Конструкция
двойственного пространства (как и многие другие математические
406     Линейные, билинейные и квадратичные формы                            Гл. 4

манипуляции с двойными суммами (в частности, изменив порядок
суммирования в правой части), мы придем к равенству
                                                               
              n
              X         n
                        X                       n
                                                X      Xn
                             tij x0j  b∗i =            sji x0j  b∗i ,   (31.25)
              i=1       j=1                     i=1     j=1


которое (в силу того факта, что B∗ есть базис) равносильно системе
соотношений
                  Xn          n
                              X
                          0
                     tij xj =   sji x0j ; i = 1, ... , n.   (31.26)
                    j=1              j=1

  Представим (31.26) в векторном виде:

                                  T · x0 = S t · x0 .                       (31.27)

   Равенство (31.27) должно выполняться тождественно по x0 ∈ P n
(поскольку если x пробегает всё V , то соответствующий координат-
ный столбец пробегает всё P n ). Значит, должны совпадать матри-
цы T и S t = (T −1 )t , или, что равносильно, для матрицы T должны
совпадать обратная и транспонированная матрицы:

                                     T −1 = T t .                           (31.28)

   Условие (31.28) выполняется далеко не всегда. (Сами придумай-
те простой (2 × 2)-контрпример.) Однако случай, когда оно все-таки
выполняется, весьма интересен. Забегая вперед (см. п. 40.2), мы
укажем название для обратимых квадратных матриц, удовлетворя-
ющих (31.28), — ортогональные матрицы. Матрицы такого типа (и
соответствующие операторы) будут играть исключительно важную
роль в линейной геометрии (точнее, в той ее главе, которую принято
именовать евклидовой геометрией).



              § 32. Теория двойственности

  32.1. Второе двойственное пространство. Канонический
изоморфизм к.л.п. на его второе двойственное. Конструкция
двойственного пространства (как и многие другие математические

Страницы