Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 405 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 31 Линейные формы. Двойственное пространство 405
формул пересчета координатных столбцов (7.12): x = T x
0
, или, в
подробной записи:
x
i
=
n
X
j=1
t
ij
x
0
j
. (31.21)
Рассмотрим двойственные базисы B
∗
и (B
0
)
∗
в пространстве V
∗
.
Согласно предложению 31.3, матрицей перехода от первого из них ко
второму будет служить матрица R = (T
−1
)
t
= S
t
, элементы которой
могут быть выражены соотношениями
r
ij
= s
ji
; i, j = 1, ... , n. (31.22)
По определению матрицы перехода (см. п. 7.1), эти элементы бу-
дут фигурировать в разложениях
(b
0
j
)
∗
=
n
X
i=1
r
ij
b
∗
i
(31.22)
===
n
X
i=1
s
ji
b
∗
i
. (31.23)
Рассмотрим теперь изоморфизм (31.15), действующий по форму-
ле (31.16), и аналогичный изоморфизм
ι
B
0
: V −→ V
∗
, (31.15
0
)
заданный формулой
ι
B
0
(x) = ι
B
0
(
n
X
j=1
x
0
j
b
0
j
) =
n
X
j=1
x
0
j
(b
0
j
)
∗
. (31.16
0
)
(Лишний раз подчеркнем, что в формулах (31.16) и (31.16
0
) участ-
вует один и тот же вектор x ∈ V , но используются его разложения
по двум различным базисам.)
Изоморфизмы (31.15) и (31.15
0
) равны тогда и только тогда, когда
они принимают одинаковые значения на произвольном x, т. е. когда
для любого x ∈ V выполняется равенство
n
X
i=1
x
i
b
∗
i
=
n
X
j=1
x
0
j
(b
0
j
)
∗
. (31.24)
В левую часть (31.24) подставим выражения для x
i
из (31.21), а в
правую — выражения для (b
0
j
)
∗
из (31.23). Произведя стандартные
§ 31     Линейные формы. Двойственное пространство                              405

формул пересчета координатных столбцов (7.12): x = T x0 , или, в
подробной записи:
                             n
                             X
                        xi =   tij x0j .                  (31.21)
                                           j=1

  Рассмотрим двойственные базисы B∗ и (B 0 )∗ в пространстве V ∗ .
Согласно предложению 31.3, матрицей перехода от первого из них ко
второму будет служить матрица R = (T −1 )t = S t , элементы которой
могут быть выражены соотношениями

                        rij = sji ; i, j = 1, ... , n.                       (31.22)

  По определению матрицы перехода (см. п. 7.1), эти элементы бу-
дут фигурировать в разложениях
                                n
                                X                          n
                                                           X
                                              (31.22)
                  (b0j )∗   =         rij b∗i ===                sji b∗i .   (31.23)
                                i=1                        i=1

   Рассмотрим теперь изоморфизм (31.15), действующий по форму-
ле (31.16), и аналогичный изоморфизм

                                  ιB0 : V −→ V ∗ ,                           (31.150 )

заданный формулой

                               Xn            n
                                             X
                                    0 0
                ιB0 (x) = ιB0 (   x j bj ) =   x0j (b0j )∗ .                 (31.160 )
                                     j=1                  j=1


  (Лишний раз подчеркнем, что в формулах (31.16) и (31.160 ) участ-
вует один и тот же вектор x ∈ V , но используются его разложения
по двум различным базисам.)
  Изоморфизмы (31.15) и (31.150 ) равны тогда и только тогда, когда
они принимают одинаковые значения на произвольном x, т. е. когда
для любого x ∈ V выполняется равенство
                            n
                            X                  n
                                               X
                                  xi b∗i   =         x0j (b0j )∗ .           (31.24)
                            i=1                j=1


  В левую часть (31.24) подставим выражения для xi из (31.21), а в
правую — выражения для (b0j )∗ из (31.23). Произведя стандартные

Страницы