Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 403 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 31 Линейные формы. Двойственное пространство 403
Что из себя представляет двойственное пространство
∗
P
n
? (Звез-
дочку мы поместили над обозначением пространства, чтобы она не
мешала верхнему индексу.)
Всякая линейная форма f : P
n
→ P задается (в базисе E) форму-
лой [см. (31.7)]
f(x) = a
t
· x =
n
X
i=1
α
i
x
i
,
т. е. однозначно определяется вектором-строкой
a
t
= (α
1
α
2
... α
n
).
Следовательно, именно из таких строк можно считать составлен-
ным двойственное пространство
∗
P
n
. (Этим, кстати, объясняется
и наше обозначение для арифметического линейного пространства
векторов-строк, введенное еще в самом начале курса; см. форму-
лу (2.3) в [A
1
], а также формулу (1.3) в настоящем пособии.)
Итак, двойственным к арифметическому линейному пространству
векторов-столбцов является арифметическое линейное пространство
векторов-строк (такой же размерности). Базисом, двойственным к
естественному базису E, является, очевидно, аналогичный (тоже —
естественный) базис
E
∗
= [ e
1
t
, e
2
t
, ... , e
n
t
],
составленный из единичных векторов-строк.
31.4. Влияние замены базиса на линейные формы. Пусть,
помимо базиса (31.1), в пространстве V задан еще один базис:
B
0
= [ b
0
1
, b
0
2
, ... , b
0
n
] (31.1
0
)
и матрицей перехода от старого базиса к новому служит матрица T.
Для каждого из этих базисов однозначно определен двойствен-
ный базис: B
∗
и (B
0
)
∗
соответственно. Выясним, какова матрица
перехода от старого двойственного базиса к новому двойственному.
Предварительно мы выпишем формулы пересчета для матриц-
строк, соответствующих произвольной линейной форме в базисах B
и B
0
. (Любопытно, что раньше мы действовали в противоположном
порядке: сначала определялась матрица перехода, а затем произво-
дился пересчет координат.)
§ 31     Линейные формы. Двойственное пространство               403

                                                           ∗
  Что из себя представляет двойственное пространство P n ? (Звез-
дочку мы поместили над обозначением пространства, чтобы она не
мешала верхнему индексу.)
  Всякая линейная форма f : P n → P задается (в базисе E) форму-
лой [см. (31.7)]
                                     n
                                     X
                              t
                     f (x) = a · x =   αi xi ,
                                             i=1
т. е. однозначно определяется вектором-строкой

                        at = (α1 α2 ... αn ).

   Следовательно, именно из таких строк можно считать составлен-
                                         ∗
ным двойственное пространство P n . (Этим, кстати, объясняется
и наше обозначение для арифметического линейного пространства
векторов-строк, введенное еще в самом начале курса; см. форму-
лу (2.3) в [A1 ], а также формулу (1.3) в настоящем пособии.)
   Итак, двойственным к арифметическому линейному пространству
векторов-столбцов является арифметическое линейное пространство
векторов-строк (такой же размерности). Базисом, двойственным к
естественному базису E, является, очевидно, аналогичный (тоже —
естественный) базис

                     E ∗ = [ e1 t , e2 t , ... , en t ],

составленный из единичных векторов-строк.

  31.4. Влияние замены базиса на линейные формы. Пусть,
помимо базиса (31.1), в пространстве V задан еще один базис:

                         B0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ]        (31.10 )

и матрицей перехода от старого базиса к новому служит матрица T.
   Для каждого из этих базисов однозначно определен двойствен-
ный базис: B∗ и (B0 )∗ соответственно. Выясним, какова матрица
перехода от старого двойственного базиса к новому двойственному.
   Предварительно мы выпишем формулы пересчета для матриц-
строк, соответствующих произвольной линейной форме в базисах B
и B0 . (Любопытно, что раньше мы действовали в противоположном
порядке: сначала определялась матрица перехода, а затем произво-
дился пересчет координат.)

Страницы