Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 402 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

402 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
формы f ∈ V
∗
в базисе B
∗
будет равен a, где a
t
есть ее матрица-
строка. Или, другими словами, будет справедлива формула:
f =
n
X
j=1
α
j
b
∗
j
, (31.17)
которую очень легко проверить, вычисляя значения левой и правой
частей на произвольном векторе x ∈ V и пользуясь формулами (31.6)
и (31.14):
f(x)
(31.7)
===
n
X
j=1
α
j
x
j
(31.14)
===
n
X
j=1
α
j
b
∗
j
(x) = (
n
X
j=1
α
j
b
∗
j
)(x).
Пришла пора подвести первые итоги иучения двойственного про-
странства.
Предложение 31.1. Пусть V — n-мерное линейное простран-
ство над полем P. Двойственное пространство V
∗
= L(V, P ) также
имеет размерность n и, следовательно, изоморфно V.
Всякому базису (31.1) в пространстве V однозначно соответствует
двойственный базис (31.13) в V
∗
; эти базисы связаны соотношения-
ми (31.12).
Любая линейная форма f ∈ V
∗
может быть представлена своим
разложением (31.17) по базису (31.13); коэффициенты этого разло-
жения определяются формулами (31.6).
Доказательство см. выше. ¤
Пример 31.4. Рассмотрим арифметическое линейное простран-
ство P
n
, составленное, как мы хорошо помним (с первой лекции
первого семестра), из векторов-столбцов вида
x =
x
1
x
2
...
x
n
; x
i
∈ P (i = 1, ... , n)
и наделенное естественным базисом
E = [ e
1
, e
2
, ... , e
n
].
402    Линейные, билинейные и квадратичные формы                                          Гл. 4

формы f ∈ V ∗ в базисе B∗ будет равен a, где at есть ее матрица-
строка. Или, другими словами, будет справедлива формула:
                                         n
                                         X
                                   f=          αj b∗j ,                                  (31.17)
                                         j=1


которую очень легко проверить, вычисляя значения левой и правой
частей на произвольном векторе x ∈ V и пользуясь формулами (31.6)
и (31.14):

                     n
                     X                      n
                                            X                       n
                                                                    X
            (31.7)                (31.14)
        f (x) ===          αj xj ===              αj b∗j (x)   =(         αj b∗j )(x).
                     j=1                    j=1                     j=1


  Пришла пора подвести первые итоги иучения двойственного про-
странства.

   Предложение 31.1. Пусть V — n-мерное линейное простран-
ство над полем P. Двойственное пространство V ∗ = L(V, P ) также
имеет размерность n и, следовательно, изоморфно V.
   Всякому базису (31.1) в пространстве V однозначно соответствует
двойственный базис (31.13) в V ∗ ; эти базисы связаны соотношения-
ми (31.12).
   Любая линейная форма f ∈ V ∗ может быть представлена своим
разложением (31.17) по базису (31.13); коэффициенты этого разло-
жения определяются формулами (31.6).
  Доказательство см. выше. ¤
   Пример 31.4. Рассмотрим арифметическое линейное простран-
ство P n , составленное, как мы хорошо помним (с первой лекции
первого семестра), из векторов-столбцов вида
                             
                          x1
                         x 
                     x =  2  ; xi ∈ P (i = 1, ... , n)
                          ...
                          xn

и наделенное естественным базисом

                               E = [ e1 , e2 , ... , en ].

Страницы