Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 400 стр.

400     Линейные, билинейные и квадратичные формы                 Гл. 4

  Для конкретизации изоморфизма (31.10) в пространствах V и V ∗
должны быть выбраны какие-либо базисы.
  В исходном пространстве базис (31.1) выбирается произвольно.
  Для двойственного пространства применяется общая конструкция
базиса в пространстве линейных операторов L(V, W ), описанная в
упомянутом выше предложении 12.2: базис составляют линейные
операторы εij (i = 1, ... m; j = 1, ... , n), которые на векторы базиса B
действуют по формулам [см. (12.12)]:

                      εij (bk ) = δjk ci ; k = 1, ... , n,       (31.11)

где C = [c1 , ..., cm ] — базис, фиксированный в W , а δjk — символы
Кронекера.
   В данном случае: W = P, m = 1, и в качестве базиса C мы всегда
будем выбирать естественный базис E1 = [1]. Так что в соотношени-
ях (31.11) первый индекс принимает лишь одно значение (i = 1) и
c1 = 1; следовательно, этот индекс фактически не нужен. Вводится
специальное обозначение b∗j для линейной формы ε1j (j = 1, ..., n),
после чего указанные соотношения приобретают вид:

                      b∗j (bk ) = δjk ; j, k = 1, ... , n.       (31.12)

  Подчеркнем, что, в силу ОТЛО, линейные формы (как и всякие
линейные отображения) однозначно определяются своими значени-
ями на базисных векторах. Следовательно, формулы (31.12) одно-
значно определяют b∗j ∈ V ∗ .
  Рассмотрим систему векторов в двойственном пространстве (т. е.
систему линейных форм)

                           B ∗ = [ b∗1 , b∗2 , ... , b∗n ],      (31.13)

являющуюся, по построению, базисом в V ∗ .
  Определение 31.3. Базис (31.13) в пространстве V ∗ называется
двойственным (сопряженным) к базису B в пространстве V .
   Замечание 31.3. Тот факт, что система форм (31.13), связанная с
базисом (31.1) сотношениями (31.12), является базисом в V ∗ , мы до-
казали с использованием ранее установленного общего факта. Мож-
но провести независимое доказательство, использующее лишь фор-
мулы (31.12). Автор обращается к читателям с рекомендацией про-
делать это. Тогда вы гораздо более живо и осязаемо представите
себе линейные формы и их действие на векторы.