Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 398 стр.

398    Линейные, билинейные и квадратичные формы            Гл. 4

а в примере 12.2 — на (также бесконечномерном) пространстве мно-
гочленов R[x] или на его (конечномерном) подпространстве Rn [x],
и сопоставляющая функции (многочлену) f (x) определенный инте-
     Rb
грал a f (x)dx.
   В определении 13.3 вводилось понятие следа квадратной матрицы,
после чего устанавливалось, что функция tr : L(n, P ) → P является
линейной формой на пространстве квадратных матриц L(n, P ).


   31.2. Матрица-строка и координатное выражение для ли-
нейной формы. Предположим, что линейное пространство V яв-
ляется конечномерным (размерности n), и зафиксируем в нем какой-
либо базис (31.1). В поле P, рассматриваемом как одномерное про-
странство над самим собой, в качестве базисного можно выбрать
любой ненулевой вектор, однако естественным считается выбор ба-
зисного вектора (фактически — скаляра), совпадающего с полевой
единицей: E1 = [1].
   В п. 12.2 мы изучали понятие матрицы A [см. (12.9)] для линей-
ного отображения ϕ : V → W относительно некоторых базисов B
и C в к.л.п. V и W соответственно. В частном случае, когда второе
пространство W = P , матрица для линейной формы

                             f :V →P                        (31.4)

имеет всего одну строку, которую мы переобозначим следующим об-
разом:
                      A = at = (α1 α2 ... αn ),           (31.5)
где
                     αj = f (bj ); j = 1, ... , n.          (31.6)
   [В отличие от формулы (12.9), здесь не нужны черты, поскольку
одномерные арифметические векторы естественно отождествляются
со скалярами.]
  Определение 31.2. Строка (31.5) называется матрицей-стро-
кой, отвечающей линейной форме f ∈ L(V, P ) в базисе (31.1) про-
странства V.
  Вспомним далее, что в общем случае действие линейного отобра-
жения y = ϕ(x) может быть выражено [см. (12.28) и (12.32)] коор-
динатной формулой y = A · x. В случае линейной формы (31.4) эта