Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 397 стр.

§ 31     Линейные формы. Двойственное пространство                         397

   Термин функция является скорее аналитическим, и даже — обще-
математическим, знакомым "с детства" и — несколько обманчивым.
"Школьная" линейная функция f (x) = ax + b заслуживает такое
название (в строгом смысле линейной алгебры) только при b = 0.
В противном случае (в рамках линейной алгебры) ее правильнее на-
зывать аффинной (или линейной неоднородной) функцией.
   Термин функционал является более "солидным" и "уважитель-
ным", характерным для функционального анализа, "бесконечномер-
ной" науки, о предмете и задачах которой мы (вскользь) упоминали
неоднократно. В старых учебниках по функциональному анализу
функционал определяли как "функцию на функциях", имея в ви-
ду, что значения этой функции суть скаляры, тогда как аргумент
может сам быть функцией (или даже каким-то иным, нескалярным
объектом).
   Термин ковектор специфичен для геометрии, а префикс ’ко-’ яв-
ляется сигналом о рассмотрении объектов двух типов, двойственных
друг другу. (Кое-что на эту тему будет рассказано ниже. Однако
все богатство понятия двойственности может раскрыться вам лишь
в дальнейших, "продвинутых" разделах алгебры и геометрии.)
   Пример 31.1. Выбор произвольного базиса

                          B = [ b1 , b2 , ... , bn ]                      (31.1)

в n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) определяет на
V набор из n линейных форм
                                                       n
                                                       X
             βi : V −→ P ; βi (x) = xi , x =                 xi bi ∈ V.   (31.2)
                                                       i=1


   Форма βi (i = 1, ... , n) сопоставляет произвольному вектору x ∈ V
его i-ю координату относительно базиса B.
   Полный набор таких форм составляет известный (см. п. 6.4) ко-
ординатный изоморфизм:

                   β : V −→ P n ; β(x) = x; x ∈ V.                        (31.3)


   Пример 31.2. В названных в начале данного пункта примерах
рассматривалась линейная форма int[a,b] , заданная в примере 1.11 на
(бесконечномерном) пространстве непрерывных функций C([a, b], R),