Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 395 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 395
многочленов — элементов этой матрицы):
Q(λ) = Q
0
+ Q
1
λ + Q
2
λ
2
+ Q
3
λ
3
=
=
−5/9 0 1 0 −1 1/9
−17/9 0 −2 0 2 7/9
0 1 0 0 0 0
5/9 0 0 0 1 −1/9
10/9 0 0 1 2 −2/9
−1/9 0 2 0 −2 2/9
+
−4/9 0 0 0 0 1/9
4/3 0 1 0 −1 −1/9
−4/9 0 −1 0 1 −1/9
4/9 0 0 0 0 −1/9
8/9 0 0 0 0 −2/9
−8/9 0 0 0 0 2/9
λ+
+
1/9 0 0 0 0 0
−2/3 0 0 0 0 1/9
4
/
9 0 0 0 0
−
1
/
9
−1/9 0 0 0 0 0
−2/9 0 0 0 0 0
2/9 0 0 0 0 0
λ
2
+
0 0 0 0 0 0
1/9 0 0 0 0 0
−
1
/
9 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
λ
3
.
Вычислив правое значение выписанного выше матричного много-
члена на матрице J, мы получим искомую сопрягающую матрицу
T = Q(
→
J ) = Q
0
+ Q
1
J + Q
2
J
2
+ Q
3
J
3
=
−1 0 1 0 −1 0
−1 0 −3 0 3 1
0 1 1 0 −1 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 2 0
−1 0 2 0 −2 0
,
такую, что J = T
−1
AT.
"Решающая" проверка: убеждаемся в справедливости равенства
T J = AT и вычисляем определитель det(T ) = 1.
О т в е т:
J =
2 1 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 −1
; T =
−1 0 1 0 −1 0
−1 0 −3 0 3 1
0 1 1 0 −1 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 2 0
−1 0 2 0 −2 0
.
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 395

многочленов — элементов этой матрицы):

  Q(λ) = Q0 + Q1 λ + Q2 λ2 + Q3 λ3 =
                                                                                                           
       −5/9         0    1       0       −1      1/9        −4/9      0     0    0           0       1/9
  −17/9            0   −2       0       2       7/9    4/3         0     1    0       −1          −1/9 
                                                                                                       
  0                1    0       0       0        0   −4/9          0     −1   0           1       −1/9 
=                                                    +                                                  λ+
  5/9              0    0       0       1       −1/9   4/9         0     0    0           0       −1/9 
                                                                                                       
       10/9         0    0       1       2       −2/9       8/9       0     0    0           0       −2/9
       −1/9         0    2       0       −2      2/9        −8/9      0     0    0           0       2/9
                                                                                                       
               1/9      0    0       0       0     0               0        0    0       0       0    0
         −2/3          0    0       0       0    1/9      1/9            0    0       0       0    0
                                                                                                    
         4/9           0    0       0       0   −1/9  2   −1/9           0    0       0       0    0
       +                                             λ +                                             λ3 .
         −1/9          0    0       0       0    0        0              0    0       0       0    0
                                                                                                    
               −2/9     0    0       0       0     0               0        0    0       0       0    0
               2/9      0    0       0       0     0               0        0    0       0       0    0


  Вычислив правое значение выписанного выше матричного много-
члена на матрице J, мы получим искомую сопрягающую матрицу
                                                                                                                 
                                                                       −1    0       1       0       −1       0
                                         −1                                 0   −3          0       3        1
           →                                                                                                  
                              2      3   0                                  1       1       0       −1       0
 T = Q( J ) = Q0 + Q1 J + Q2 J + Q3 J =                                                                       ,
                                         1                                  0       0       0       1        0
                                                                                                              
                                                                       2     0       0       1       2        0
                                                                       −1    0       2       0       −2       0


такую, что J = T −1 AT.
   "Решающая" проверка: убеждаемся в справедливости равенства
T J = AT и вычисляем определитель det(T ) = 1.
   О т в е т:
                                                                                                             
     2          1       0  0             0        0           −1            0    1           0       −1       0
   0           2       0  0             0        0         −1            0    −3          0       3        1
                                                                                                             
   0           0       −1 0             0        0         0             1    1           0       −1       0
J =                                                 ; T =                                                    .
   0           0       0 −1             0         0        1             0    0           0       1        0
                                                                                                             
     0          0       0  0             −1       0           2             0    0           1       2        0
     0          0       0  0             0        −1          −1            0    2           0       −2       0

Страницы