Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 393 стр.

§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 393
                                                                               
                                  0        1        0       0       0       0
                         1               λ−2       0       0       0       0
                                                                            
                         0                0        1       0       0       0
                    Y1 =                                                    .
                         0                0        0       1       0       0
                                                                            
                                  0        0        0       0       1       0
                                  0        0        0       0       0       1

   Матрица G1 "сходу" оказалась диагональной. Но это отнюдь не
есть форма Смита, поскольку нарушаются условия делимости: сле-
дующий диагональный элемент должен делиться на предыдущий.
Это обстоятельство не исправляется и после того, как мы ("в два
приема") поменяем местами многочлены, занимающие в G1 позиции
(2,2) и (6,6). Все равно надо проверять делимость на второй диа-
гональный элемент всех элементов юго-восточного (4 × 4)-блока, а
многочлен λ2 −4λ+4 при делении на λ+1 дает остаток 9 (и неполное
частное λ − 5).
   После
   — прибавления шестой строки ко второй,
   — замены указанного многочлена на указанный остаток (с помо-
щью прибавления к новому шестому столбцу второго, с домножени-
ем на −λ + 5),
   — перестановки девятки в позицию (2,2), с последующим умноже-
нием второй строки на 1/9,
   — обнуления второго окаймления,
   — умножения шестой строки на −9,
мы получим: G2 = S и
                                                        
                          −1                            0               0       0       0      0
                      (λ−2)/9                      1/9                 0       0       0     1/9      
                                                                                                      
                             0                         0               1       0       0      0       
       W = W2 =                                                                                       ;
                             0                         0               0       1       0      0       
                                                                                                      
                              0                         0               0       0       1      0
                    λ3 −6λ2 +3λ+10              λ2 −4λ−5                0       0       0   λ2 −4λ+4
                                                                                            
                          0           1         0       0       0           (−λ−1)/9
                     1           λ−2           0       0       0       (−λ2 +λ+2)/9 
                                                                                            
                     0               0         1       0       0                   0        
            Y = Y2 =                                                                        .
                     0               0         0       1       0                   0        
                                                                                            
                          0           0         0       0       1                   0
                          0       −λ+5          0       0       0       (λ2 −4λ+4)/9

  Как и по завершению первого этапа, здесь возможна (и полезна)
промежуточная проверка.