Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 391 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 30 Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 391
Не повредит (хотя и доставит немало хлопот) промежуточная про-
верка; должно выполняться равенство: S = UCV ; определители
матриц U и V должны быть ненулевыми константами. Проделав (хо-
тя бы с помощью компьютера) указанные контрольные вычисления,
убеждаемся в том, что мы пока не ошиблись в счете (в частности,
оба интересующих нас определителя оказались равными −1).
2. Выписываем все инвариантные многочлены, а также (для не-
единичных и.м.) — их разложения на неприводимые:
µ
(A)
1
(λ) = 1;
µ
(A)
2
(λ) = 1;
µ
(A)
3
(λ) = λ + 1;
µ
(A)
4
(λ) = λ + 1;
µ
(A)
5
(λ) = λ + 1;
µ
(A)
6
(λ) = λ
3
− 3λ
2
+ 4 = (λ + 1)(λ −2)
2
.
Замечаем, что все неприводимые множители линейны и, следова-
тельно, данная матрица приводима к ж.н.ф.
3. По разложению старшего и.м. µ
(A)
6
(λ) определяем список ха-
рактеристических корней.
Примем для них следующий порядок: λ
1
= 2, λ
2
= −1.
4. Выявляем (по разложениям всех и.м.) элементарные делители
(примарные множители) и располагаем их в список в соответствии
с принятым порядком характеристических корней, а в группах, от-
вечающих одному и тому же корню, — по невозрастанию степеней:
δ(A) = [ (λ − 2)
2
;
λ + 1, λ + 1, λ + 1, λ + 1 ].
5. По э.д. определяем жордановы ящики (один — второго порядка
и четыре — одноэлементных):
J
2
(2) ; J
1
(−1) ; J
1
(−1) ; J
1
(−1) ; J
1
(−1) ,
которые будут располагаться (в указанном порядке) по диагонали
блочно-диагональной матрицы
J = diag( J
2
(2) , −1, −1, −1, −1),
§ 30   Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 391

   Не повредит (хотя и доставит немало хлопот) промежуточная про-
верка; должно выполняться равенство: S = U CV ; определители
матриц U и V должны быть ненулевыми константами. Проделав (хо-
тя бы с помощью компьютера) указанные контрольные вычисления,
убеждаемся в том, что мы пока не ошиблись в счете (в частности,
оба интересующих нас определителя оказались равными −1).
   2. Выписываем все инвариантные многочлены, а также (для не-
единичных и.м.) — их разложения на неприводимые:
               (A)
              µ1 (λ) = 1;
               (A)
              µ2 (λ) = 1;
               (A)
              µ3 (λ) = λ + 1;
               (A)
              µ4 (λ) = λ + 1;
               (A)
              µ5 (λ) = λ + 1;
               (A)
              µ6 (λ) = λ3 − 3λ2 + 4 = (λ + 1)(λ − 2)2 .

   Замечаем, что все неприводимые множители линейны и, следова-
тельно, данная матрица приводима к ж.н.ф.
                                    (A)
   3. По разложению старшего и.м. µ6 (λ) определяем список ха-
рактеристических корней.
   Примем для них следующий порядок: λ1 = 2, λ2 = −1.
   4. Выявляем (по разложениям всех и.м.) элементарные делители
(примарные множители) и располагаем их в список в соответствии
с принятым порядком характеристических корней, а в группах, от-
вечающих одному и тому же корню, — по невозрастанию степеней:

                δ(A) = [ (λ − 2)2 ;
                            λ + 1, λ + 1, λ + 1, λ + 1 ].
   5. По э.д. определяем жордановы ящики (один — второго порядка
и четыре — одноэлементных):

            J2 (2) ; J1 (−1) ; J1 (−1) ; J1 (−1) ; J1 (−1) ,

которые будут располагаться (в указанном порядке) по диагонали
блочно-диагональной матрицы

                 J = diag( J2 (2) , −1, −1, −1, −1),

Страницы