Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 390 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

390 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
U
5
=
1 0 0 0 0 0
(−λ+1)/9 1/9 1/9 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 0 0 −2 1 0
(−2λ
2
+9λ−16)/9 (2λ−7)/9 (2λ+2)/9 λ−3 0 0
(λ
2
−19)/9 (−λ−1)/9 (−λ−1)/9 −1 0 1
;
V
5
=
0 0 1 0 −1 0
0 2 λ−2 0 −λ+2 (−2λ+7)/9
1 −2 −λ 0 λ (2λ+2)/9
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 2 0
0 1 2 0 −2 (−λ−1)/9
.
1.5. Дальше все просто: перемещаем в матрице C
5
многочлен
−λ −1 в позицию (5,5), домножаем пятую строку на −1 и осуществ-
ляем обнуление пятого окаймления. Фактически подлежат обнуле-
нию всего два элемента, и сделать это можно сразу, поскольку они
делятся без остатка на λ + 1. Юго-восточный блок теперь "ужался"
до размера 1 ×1, и единственный его элемент также делится на (пя-
тый и.м.) λ + 1. После нормализации (путем домножения последней
строки на −9) этот (шестой инвариантный) многочлен приобретает
вид: λ
3
− 3λ
2
+ 4.
Значит, каноническая форма Смита достигнута:
S = C
6
=
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 λ+1 0 0 0
0 0 0 λ+1 0 0
0 0 0 0 λ+1 0
0 0 0 0 0 λ
3
−3λ
2
+4
;
U = U
6
=
1 0 0 0 0 0
(−λ+1)/9 1/9 1/9 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 0 0 −2 1 0
(−λ
2
+19)/9 (λ+1)/9 (λ+1)/9 1 0 −1
−λ
3
+5λ
2
+10λ−41 λ
2
−4λ+4 λ
2
−4λ−5 0 0 −9λ+27
;
V = V
6
=
0 0 1 0 −1 (λ+1)/9
0 2 λ−2 0 −λ+2 (λ
2
−3λ+5)/9
1 −2 −λ 0 λ (−λ
2
+λ+2)/9
0 0 0 0 1 (−λ−1)/9
0 0 0 1 2 (−2λ−2)/9
0 1 2 0 −2 (λ+1)/9
.
390    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                                                             Гл. 3
                                                                                                                        
                       1                                     0                       0                  0       0    0
                 (−λ+1)/9                                  1/9                   1/9                   0       0    0
                                                                                                                     
                      1                                     0                       0                  1       0    0
      U5 =                                                                                                           ;
                      0                                     0                       0              −2          1    0
                  2                                                                                                  
               (−2λ +9λ−16)/9                       (2λ−7)/9                 (2λ+2)/9               λ−3         0    0
                   2
                  (λ −19)/9                         (−λ−1)/9                 (−λ−1)/9               −1          0    1
                                                                                                           
                           0           0            1        0           −1                    0
                 0                    2           λ−2       0       −λ+2            (−2λ+7)/9 
                                                                                                           
                 1                −2              −λ        0           λ               (2λ+2)/9           
            V5 =                                                                                           .
                 0                    0            0        0           1                     0            
                                                                                                           
                           0           0            0        1           2                     0
                           0           1            2        0           −2           (−λ−1)/9
  1.5. Дальше все просто: перемещаем в матрице C5 многочлен
−λ − 1 в позицию (5,5), домножаем пятую строку на −1 и осуществ-
ляем обнуление пятого окаймления. Фактически подлежат обнуле-
нию всего два элемента, и сделать это можно сразу, поскольку они
делятся без остатка на λ + 1. Юго-восточный блок теперь "ужался"
до размера 1 × 1, и единственный его элемент также делится на (пя-
тый и.м.) λ + 1. После нормализации (путем домножения последней
строки на −9) этот (шестой инвариантный) многочлен приобретает
вид: λ3 − 3λ2 + 4.
  Значит, каноническая форма Смита достигнута:
                                                   
                                   1           0        0            0           0                  0
                   0                          1        0            0           0                  0           
                                                                                                               
                   0                          0    λ+1              0           0                  0           
          S = C6 =                                                                                             ;
                   0                          0        0        λ+1             0                  0           
                                                                                                               
                                   0           0        0            0        λ+1                   0
                                   0           0        0            0           0         λ −3λ2 +4
                                                                                            3

                                                                                                                              
                           1                                 0                       0                  0    0           0
                 (−λ+1)/9                                  1/9                      1/9                0    0           0     
                                                                                                                              
                          1                                 0                       0                  1    0           0     
 U = U6 =                                                                                                                     ;
                          0                                 0                       0              −2       1           0     
                      2                                                                                                       
                 (−λ +19)/9                             (λ+1)/9                  (λ+1)/9                1    0           −1
               −λ3 +5λ2 +10λ−41                         λ2 −4λ+4              λ2 −4λ−5                  0    0       −9λ+27
                                                                                                                
                               0           0            1        0        −1                (λ+1)/9
                  0                       2        λ−2          0       −λ+2              2
                                                                                         (λ −3λ+5)/9 
                                                                                                    
                  1                   −2           −λ           0           λ           (−λ +λ+2)/9 
                                                                                                2
         V = V6 =                                                                                   .
                  0                       0            0        0           1             (−λ−1)/9 
                                                                                                    
                               0           0            0        1           2             (−2λ−2)/9
                               0           1            2        0        −2                (λ+1)/9

Страницы