Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 394 стр.

394     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                                     Гл. 3

   7. Матрица U отслеживала строчные преобразования при перехо-
де от C к S, матрица W — строчные преобразования при переходе от
G к S. Матрица P = W −1 U аккумулирует в себе все строчные пре-
образования, обеспечивающие "сквозной" переход от C к G. Анало-
гично, в матрице Q = V Y −1 будут накоплены обеспечивающие этот
переход столбцовые преобразования.
   Вычисление матриц P и Q является весьма неприятным этапом
при ручной работе (каким бы способом вы не вычисляли обратные
к полиномиальным матрицам — это трудоемкая процедура).
   Обращения полиномиальных матриц можно, однако, избежать,
если тщательно протоколировать все элементарные преобразования
над столбцами. Тогда, зная матрицу V и применяя к ней элементар-
ные преобразования над столбцами, обратные к тем, что были за-
протоколированы на шестом этапе, с заменой запротоколированного
порядка применения на противоположный, мы получим матрицу Q.
А матрица P нам вообще не понадобится.
   Здесь мы не сможем так поступить, поскольку двигались "боль-
шими" шагами, не фиксируя отдельные столбцовые преобразования.
   Так что придется (честно или с помошью компьютерных проце-
дур) вычислять P и Q. Результаты (получены с помощью Maple):

                                                                             
                        −1          0             0        0     0       0
                   −λ+3            0             1        0     0      λ−3   
                                                                             
                           1       0             0        1     0       0    
        P =                                                                  ;
                           0       0             0        −2    1       0    
                       2                                                     
                  (−λ +19)/9     (λ+1)/9     (λ+1)/9       1     0      −1
                        λ−4         1             0        0     0     −λ+3


                                                                                 
                  (λ2 −4λ−5)/9          0    1        0    −1         (λ+1)/9
         (λ3 −6λ2 +12λ−17)/9           0   λ−2       0   −λ+2       (λ2 −λ+7)/9 
                                                                                 
         (−λ3 +4λ2 −4λ)/9              1   −λ        0    λ         (−λ2 −λ)/9   
      Q=                                                                         .
         (−λ2 +4λ+5)/9                 0    0        0    1          (−λ−1)/9    
                2                                                                
              (−2λ +8λ+10)/9            0    0        1    2         (−2λ−2)/9
                    2
                  (2λ −8λ−1)/9          0    2        0    −2         (2λ+2)/9


  Maple-проверка убеждает нас в том, что соотношение G = P CQ
выполняется, и дает значения определителей det(P ) = det(Q) = 1.
  8. Полиномиальную матрицу Q = Q(λ) представим как матрич-
ный многочлен степени 3 (поскольку такова наибольшая из степеней