Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 399 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 31 Линейные формы. Двойственное пространство 399
формула приобретает вид:
f(x) = a
t
· x =
n
X
j=1
α
j
x
j
= α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ ... + α
n
x
n
, (31.7)
с коэффициентами, определяемыми формулами (31.6).
Выражение (31.7) как раз и демонстрирует тот факт, что линей-
ные формы "заслуживают свое название", т. е. представляются в
координатах однородными многочленами первой степени.
Пример 31.3. Координатным формам (31.2) [см. пример 31.1]
соответствуют единичные векторы-строки e
i
t
.
В примере 12.2 (см. также пример 31.2) фактически была вычис-
лена матрица-строка для линейной формы int
[a,b]
на пространстве
многочленов R
n
[x].
Попробуйте описать матрицу-строку для формы tr [см. (13.33)].
(Для этого вам придется подвергнуть векторизации квадратную ма-
трицу — аргумент этой формы.)
31.3. Понятие двойственного (сопряженного) линейного
пространства. Двойственный (сопряженный) базис
Определение 31.3. Линейное пространство L(V, P ) всех линей-
ных форм, заданных на линейном пространстве V, называется двой-
ственным (или сопряженным) для пространства V . Используется
обозначение:
V
∗
= L(V, P ). (31.8)
Замечание 31.2 (для служебного пользования). В отечественной
учебной литературе второй вариант названия употребляется более
широко, нежели первый, который автору представляется предпо-
чтительным (благодаря его большей выразительности, а также —
с учетом чрезмерной перегрузки термина "сопряженный").
Согласно общему результату о пространствах линейных отобра-
жений (см. предложения 12.2), размерность двойственного простран-
ства (31.8) равна размерности исходного пространства:
dim(V
∗
) = dim(L(V, P )) = 1 ·n = n. (31.9)
Следовательно, в силу теоремы 6.2 (об изоморфизме к.л.п.), двой-
ственное пространство изоморфно исходному:
V
∗
∼
=
V. (31.10)
§ 31      Линейные формы. Двойственное пространство                      399

формула приобретает вид:
                         n
                         X
               t
       f (x) = a · x =         αj xj = α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn ,    (31.7)
                         j=1

с коэффициентами, определяемыми формулами (31.6).
   Выражение (31.7) как раз и демонстрирует тот факт, что линей-
ные формы "заслуживают свое название", т. е. представляются в
координатах однородными многочленами первой степени.
   Пример 31.3. Координатным формам (31.2) [см. пример 31.1]
соответствуют единичные векторы-строки ei t .
   В примере 12.2 (см. также пример 31.2) фактически была вычис-
лена матрица-строка для линейной формы int[a,b] на пространстве
многочленов Rn [x].
   Попробуйте описать матрицу-строку для формы tr [см. (13.33)].
(Для этого вам придется подвергнуть векторизации квадратную ма-
трицу — аргумент этой формы.)
  31.3. Понятие двойственного (сопряженного) линейного
пространства. Двойственный (сопряженный) базис
  Определение 31.3. Линейное пространство L(V, P ) всех линей-
ных форм, заданных на линейном пространстве V, называется двой-
ственным (или сопряженным) для пространства V . Используется
обозначение:
                        V ∗ = L(V, P ).                  (31.8)

   Замечание 31.2 (для служебного пользования). В отечественной
учебной литературе второй вариант названия употребляется более
широко, нежели первый, который автору представляется предпо-
чтительным (благодаря его большей выразительности, а также —
с учетом чрезмерной перегрузки термина "сопряженный").
   Согласно общему результату о пространствах линейных отобра-
жений (см. предложения 12.2), размерность двойственного простран-
ства (31.8) равна размерности исходного пространства:

                   dim(V ∗ ) = dim(L(V, P )) = 1 · n = n.               (31.9)

   Следовательно, в силу теоремы 6.2 (об изоморфизме к.л.п.), двой-
ственное пространство изоморфно исходному:

                                     V∗ ∼
                                        = V.                           (31.10)

Страницы