Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 401 стр.

§ 31     Линейные формы. Двойственное пространство                                                 401

  Базисные формы b∗j действуют на произвольный вектор x ∈ V
следующим образом:
                           n
                           X                    n
                                                X                      n
                                                                       X
         b∗j (x) = b∗j (         x i bi ) =           xi b∗j (bi ) =             xi δij = xj ,
                           i=1                  i=1                        i=1

или, в окончательном виде:

                             b∗j (x) = xj ; j = 1, ... , n.                                      (31.14)

   (Можно заметить, что предварительное знакомство с формами b∗j
у нас состоялось в примере 31.1; там они имели "временное" обозна-
чение βj .)
   Теперь мы располагаем базисами как в V , так и в V ∗ , и, возвра-
щаясь к (31.10), можем задать конкретный изоморфизм

                                         ιB : V −→ V ∗ ,                                         (31.15)

по принципу равенства координат:
                                        n
                                        X                 n
                                                          X
                                 ιB (         xi bi ) =         xi b∗i ;                         (31.16)
                                        i=1               i=1

вектору x ∈ V сопоставляется форма ιB (x) ∈ V ∗ , имеющая в двой-
ственном базисе B∗ такие же координаты, какие данный вектор име-
ет в базисе B.
  Замечание 31.4.∗ Будучи "конкретным", изоморфизм (31.15) за-
висит, тем не менее, от выбора базиса B. Как мы убедимся в следую-
щем пункте, при переходе к новому базису B0 новый изоморфизм ιB0
будет, вообще говоря, иным.
  Напомним вам в связи с этим замечание 6.1 о "случайных" и ка-
нонических изоморфизмах. Изоморфизмы типа (31.15) не являются
каноническими, поскольку зависят от случайного выбора базиса.
   Рассмотрим теперь произвольную линейную форму (31.4) и соот-
ветствующую ей в базисе (31.1) матрицу-строку (31.5). Убедимся в
том, что элементы (31.6) этой строки совпадают с соответствующи-
ми координатами данной формы относительно двойственного бази-
са (31.13). Последнее утверждение требует некоторого уточнения.
Дело в том, что, согласно нашим договоренностям, координаты век-
торов записываются в столбец. Так вот, координатный столбец для