Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 404 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

404 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Предложение 31.2. Матрицы-строки a
t
и (a
0
)
t
, отвечающие ли-
нейной форме f ∈ V
∗
в базисах B и B
0
, связаны соотношениями:
a
t
= (a
0
)
t
· T
−1
; (a
0
)
t
= a
t
· T. (31.18)
Доказательство. Второе из соотношений (31.18) немедленно сле-
дует из общей формулы A
0
= Q
−1
AT для пересчета матрицы линей-
ного отображения [см. (13.2а)]. В данном случае рассматриваются
линейные отображения из пространства V в поле (одномерное про-
странство) P , базис в котором остается неизменным (естественным);
так что Q = E
1
= (1). Первое соотношение получается из второго
домножением обеих частей справа на T
−1
. ¤
Транспонируя соотношения (31.18), мы получаем правила пере-
счета для координатных столбцов, которые, как мы знаем из пред-
ложения 31.2, отвечают форме f в двойственных базисах B
∗
и (B
0
)
∗
:
a = (T
−1
)
t
· a
0
; a
0
= T
t
· a. (31.19)
Обозначив буквой R искомую матрицу перехода от B
∗
к (B
0
)
∗
, мы
(по предложению 7.3) будем иметь аналогичные формулы:
a = R ·a
0
; a
0
= R
−1
· a. (31.20)
Как формулы (31.19), так и формулы (31.20) должны выполнять-
ся для любой формы f ∈ V
∗
, или, что равносильно, для любого
координатного столбца a
0
∈ P
n
(изображающего f в базисе (B
0
)
∗
).
Рассуждая точно так же, как при доказательстве теоремы 13.1,
мы можем заключить, что матрицы R и (T
−1
)
t
равны.
Значит, справедливо следующее
Предложение 31.3. Если в к.л.п. V матрицей перехода от ба-
зиса B к базису B
0
служит матрица T , то в двойственном простран-
стве V
∗
матрицей перехода от базиса B
∗
к базису (B
0
)
∗
служит мат-
рица (T
−1
)
t
. ¤
А теперь мы выполним обещание, данное в замечании 31.4, —
докажем "неканоничность" изоморфизмов (31.15).
Замечание 31.5.
∗
Рассмотрим два базиса, B и B
0
, в простран-
стве V , а также матрицы T и S = T
−1
, отвечающие переходам от
первого базиса ко второму и обратно. Нам понадобится одна из
404     Линейные, билинейные и квадратичные формы              Гл. 4

  Предложение 31.2. Матрицы-строки at и (a0 )t , отвечающие ли-
нейной форме f ∈ V ∗ в базисах B и B0 , связаны соотношениями:

                   at = (a0 )t · T −1 ; (a0 )t = at · T.      (31.18)

  Доказательство. Второе из соотношений (31.18) немедленно сле-
дует из общей формулы A0 = Q−1 AT для пересчета матрицы линей-
ного отображения [см. (13.2а)]. В данном случае рассматриваются
линейные отображения из пространства V в поле (одномерное про-
странство) P , базис в котором остается неизменным (естественным);
так что Q = E1 = (1). Первое соотношение получается из второго
домножением обеих частей справа на T −1 . ¤
  Транспонируя соотношения (31.18), мы получаем правила пере-
счета для координатных столбцов, которые, как мы знаем из пред-
ложения 31.2, отвечают форме f в двойственных базисах B ∗ и (B0 )∗ :

                     a = (T −1 )t · a0 ; a0 = T t · a.        (31.19)

   Обозначив буквой R искомую матрицу перехода от B ∗ к (B0 )∗ , мы
(по предложению 7.3) будем иметь аналогичные формулы:

                      a = R · a0 ; a0 = R−1 · a.              (31.20)

   Как формулы (31.19), так и формулы (31.20) должны выполнять-
ся для любой формы f ∈ V ∗ , или, что равносильно, для любого
координатного столбца a0 ∈ P n (изображающего f в базисе (B0 )∗ ).
   Рассуждая точно так же, как при доказательстве теоремы 13.1,
мы можем заключить, что матрицы R и (T −1 )t равны.
   Значит, справедливо следующее

   Предложение 31.3. Если в к.л.п. V матрицей перехода от ба-
зиса B к базису B0 служит матрица T , то в двойственном простран-
стве V ∗ матрицей перехода от базиса B ∗ к базису (B 0 )∗ служит мат-
рица (T −1 )t . ¤
  А теперь мы выполним обещание, данное в замечании 31.4, —
докажем "неканоничность" изоморфизмов (31.15).
   Замечание 31.5.∗ Рассмотрим два базиса, B и B0 , в простран-
стве V , а также матрицы T и S = T −1 , отвечающие переходам от
первого базиса ко второму и обратно. Нам понадобится одна из

Страницы