Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 411 стр.

§ 32                  Теория двойственности                        411

  32.2. Аннуляторы подмножеств и их свойства. Рассмотрим
конечномерное линейное пространство V над полем P и двойствен-
ное к нему пространство V ∗ , а также произвольные подмножества
M ⊆ V и N ⊆ V ∗.
  Определение 32.1. Аннулятором подмножества M ⊆ V назы-
вается подмножество M ◦ ⊆ V ∗ , состоящее из таких линейных форм,
которые обращаются в нуль на любом элементе множества M, т. е.

               M ◦ = {f ∈ V ∗ : (∀ x ∈ M ) [ f (x) = 0 ]}.      (32.21)

   Заметим, что в определении 32.1 не исключается случай пусто-
го M. Поскольку об элементах пустого множества (в силу их отсут-
ствия) можно сказать что угодно, то "вполне логично" считать, что
на пустом множестве аннулируется любая форма; так что аннулятор
пустого множества оказывается равным всему пространству V ∗ .
   В случае M 6= ∅ можно определить сужение на M для любой
функции (в частности, любой линейной формы), заданной на V. То-
гда описанию (32.21) можно придать более лаконичную форму:
                                        ¯
                     M ◦ = {f ∈ V ∗ : f ¯M = 0}.         (32.21а)

  Теперь рассмотрим произвольное подмножество N ⊆ V ∗ и опре-
делим для него аннулятор N ◦ ⊆ V. Сделано это будет в два этапа:
  1) сначала, в полном соответствии с (32.1), мы определим, так
сказать, "полуфабрикат" аннулятора

               N • = {α ∈ V ∗∗ : (∀ f ∈ N ) [ α(f ) = 0 ]},     (32.22)

являющийся подмножеством во втором двойственном пространст-
ве V ∗∗ ;
   2) затем, с помощью изоморфизма κ −1 : V ∗∗ → V , обратного
каноническому изоморфизму (32.2), мы переведем подмножество N •
в пространство V :

  N ◦ = κ −1 (N • ) = {x ∈ V : κ(x) ∈ N • } =
               = {x ∈ V : (∀ f ∈ N ) [ κ(x) (f ) = 0 ]} =
                        (32.3)
                         === {x ∈ V : (∀ f ∈ N ) [ f (x) = 0 ]}. (32.23)

  Окончательно, уже без привлечения второго двойственного про-
странства, дается следующее