Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 413 стр.

§ 32                  Теория двойственности                       413

   1b. Аналогично доказывается, что аннулятор любого подмноже-
ства в V ∗ является линейным подпространством в V : если x, y ∈ N ◦ ,
т. е. f (x) = f (y) = 0 для любого f ∈ N, то (при любых λ, µ ∈ P ) век-
тор λx + µy также принадлежит N ◦ .
   2a. Если линейная форма аннулируется на подмножестве M2 , то
она аннулируется и на подмножестве M1 ⊆ M2 . Значит, аннулятор
M2◦ содержится (и, следовательно, является подпространством) в ан-
нуляторе M1◦ .
   2b. Проведите самостоятельно столь же короткое доказательное
рассуждение.
   3a. Доказательство утверждения 3a также останется читателям в
качестве упражнения; образец будет дан в пункте 3b.
   3b. Прежде всего уточним смысл угловых скобок: в данном слу-
чае они обозначают линейную оболочку для подмножества (см.
п. 2.2). Подмножество N содержится в своей линейной оболочке hN i,
и, следовательно, в силу утверждения 2b, имеет место включение
N ◦ ⊇ hN i◦ . Противоположное включение обосновывается так: если
на векторе x аннулируется любая линейная форма, принадлежащая
подмножеству N, то на этом векторе аннулируется также и произ-
вольная (конечная) линейная комбинация таких форм, т. е. произ-
вольная линейная форма, принадлежащая hN i.
   4a. Возьмем произвольный вектор x ∈ M. Докажем, что x при-
надлежит второму аннулятору M ◦◦ . Для любой формы f ∈ M ◦ (по
определению 32.1) имеем: f (x) = 0, а значит (на этот раз — по опре-
делению 32.2), вектор x принадлежит аннулятору аннулятора M ◦ ,
что и требовалось.
   4b. Упражнение. ¤

   32.3. Аннуляторы линейных подпространств. В предыду-
щем пункте мы изучали аннуляторы для произвольных подмножеств
в к.л.п. V и в двойственном пространстве V ∗ . В данном пункте мы
займемся аннуляторами линейных подпространств. Двухстолбцо-
вый стиль оформления будет сохранен.

   Предложение 32.3. Пусть V — к.л.п. над полем P , V ∗ — соот-
ветствующее двойственное пространство. Для любых линейных под-
пространств M 6 V ; N 6 V ∗ справедливы следующие утверждения:
(1a) dim(M ◦ ) = codim(M );        (1b) dim(N ◦ ) = codim(N );
(2a) M ◦◦ = M ;                    (2b) N ◦◦ = N.