Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 415 стр.

§ 32                       Теория двойственности                       415

   В пространстве V ∗ строится базис

                          F = [ f1 , ... , fl ; fl+1 , ... , fn ],   (32.33)

первые l элементов (т. е. форм, или ковекторов) в котором состав-
ляют базис в подпространстве N.
  Согласно предложению 32.1, базис F является двойственным для
некоторого базиса

                           B = [ b1 , ... , bl ; bl+1 , ... , bn ]   (32.34)

в пространстве V, т. е. F = B ∗ , или fj = b∗j (j = 1, ..., n).
   Последние n − l векторов в (32.34) будут составлять базис в анну-
ляторе N ◦ .
   2a. Согласно утверждению (4a) из предложения 32.2, имеет место
включение (в данном случае — подпространств): M 6 M ◦◦ . Убе-
диться в том, что на самом деле подпространства равны, можно,
вычислив, с помощью утверждений (1a) и (1b), размерность второго
аннулятора: если dim(M ) = k, то

                   (1b)                     (1a)
       dim(M ◦◦ ) == n − dim(M ◦ ) == n − (n − k) = k = dim(M ).

   2b. Упражнение. ¤
  Вооружившись предложением 32.3 об аннуляторах линейных под-
пространств, мы вернемся к вопросу об аннуляторах произвольных
подмножеств и выясним, какой смысл имеет (в общем случае) второй
аннулятор.

   Предложение 32.4. Пусть V — к.л.п. над полем P , V ∗ — соот-
ветствующее двойственное пространство. Для любых подмножеств
M ⊆ V ; N ⊆ V ∗ вторые аннуляторы совпадают с линейными обо-
лочками:
(a) M ◦◦ = hM i;                              (b) N ◦◦ = hN i.
   Доказательство проведем лишь для утверждения (a); провер-
ка (b) производится аналогично.
   Согласно утверждению (3a) предложения 32.2, аннулятор подмно-
жества совпадает с аннулятором линейной оболочки этого подмно-
жества: M ◦ = hM i◦ , а значит и вторые аннуляторы для подмноже-
ства и его линейной оболочки одинаковы: M ◦◦ = hM i◦◦ . Но hM i,