Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 425 стр.

§ 33       Двойственный оператор. Теорема Фредгольма            425

   33.3. Теорема Фредгольма. Еще одна встреча со шведским
математиком Эриком Иваром Фредгольмом (1866 — 1927). Первая
состоялась в первом семестре; см. [A1 , п. 6.3]. Основным достижени-
ем Фредгольма считается развитие теории интегральных уравнений.
Нам до этого еще учиться и учиться. То, что излагалось в первом
пособии и касалось альтернативы Фредгольма, и то, что будет из-
ложени ниже, в данном пункте, является конечномерным аналогом
бесконечномерной теории. Однако, по мнению автора, предвари-
тельное знакомство со сложной наукой в простейшей (элементарной)
ситуации весьма полезно.
   Итак, рассмотрим линейный оператор ϕ, действующий из n-мер-
ного линейного пространства V в m-мерное пространство W, а так-
же — двойственный линейный оператор ϕ∗ , действующий из W ∗
в V ∗ . Образы и ядра этих операторов оказываютя двойственными
друг другу.

  Теорема 33.1 (теорема Фредгольма). Являются аннуляторами
друг друга:
  — образ оператора ϕ и ядро двойственного оператора ϕ∗ ;
  — ядро ϕ и образ ϕ∗ .
    Доказательство. Нам предстоит доказать две формулы:

                          Im(ϕ) = (Ker(ϕ∗ ))◦                (33.28)

и
                          Ker(ϕ) = (Im(ϕ∗ ))◦ .              (33.29)

  1. Пусть y ∈ Im(ϕ), т. е. y = ϕ(x) для некоторого x ∈ V. Тогда для
любого g ∈ Ker(ϕ∗ ) справедливо:

                                  (33.5)
                   g(y) = g(ϕ(x)) === ϕ∗ (g) (x) = 0,

т. е. y принадлежит аннулятору (Ker(ϕ∗ ))◦ .
   Тем самым доказано включение Im(ϕ) 6 (Ker(ϕ∗ ))◦ , которое на
самом деле яляется равенством, поскольку dim(Im(ϕ)) = r и

    dim((Ker(ϕ∗ ))◦ ) = m − dim((Ker(ϕ∗ )) =
                                                (33.27)
                               = m − dfc(ϕ∗ ) === m − (m − r) = r.