Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 434 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

434 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Предложение 34.1. Пусть V — к.л.п. размерности n над по-
лем P. Отображение
m : L
2
(V ) −→ L(n, P ); f 7→ A; f ∈ L
2
(V ), (34.18)
сопоставляющее билинейной форме (34.1) ее матрицу (34.16), явля-
ется изморфизмом линейных пространств; в частности, простран-
ство билинейных форм также является к.л.п. и dim(L
2
(V )) = n
2
.
Доказательство. Линейность отображения (34.18) очевидна в си-
лу формул (34.15): сумме билинейных форм отвечает сумма соот-
ветствующих матриц; при умножении формы на скаляр ее матрица
умножается на тот же скаляр.
Мономорфность отображения (34.18) вытекает из того факта, что
б.ф. однозначно [по формуле (34.17)] восстанавливается по своей
матрице.
Эпиморфность следует из того, что (в силу линейности коорди-
натного изоморфизма x 7→ x) по заданной квадратной (n×n)-матри-
це A формула (34.17) определяет билинейную форму f на V , причем
такую, что m(f) = A. В самом деле, подставляя в (34.17) вместо
x и y базисные векторы b
i
и b
j
соответственно, мы получим сначала:
x = e
i
, y = e
j
и Ae
j
= a
j
(j-й столбец матрицы A), а затем:
f(b
i
, b
j
) = e
i
t
Ae
j
= e
i
t
a
j
= a
ij
; i, j = 1, ... , n. ¤ (34.19)
Пример 34.5 (продолжение примера 34.1). Билинейной фор-
ме (34.6) в естественном базисе E
n
арифметического линейного про-
странства P
n
отвечает, очевидно, та самая матрица A, с помощью
которой эта форма была задана. Действительно,
f(e
i
, e
j
) = e
i
t
· A · e
j
= a
ij
.
В частности, скалярному произведению (34.7) отвечает единичная
матрица A = E
n
.
Пример 34.6 (продолжение примера 34.3). Ситуция, аналогич-
ная случаю скалярного произведения (34.7), имеет место и примени-
тельно к б.ф. (34.10): эта форма фактически тоже является стан-
дартным скалярным произведением на n
2
-мерном линейном про-
странстве V = L(n, P ).
434    Линейные, билинейные и квадратичные формы                         Гл. 4

  Предложение 34.1. Пусть V — к.л.п. размерности n над по-
лем P. Отображение

          m : L2 (V ) −→ L(n, P ); f 7→ A; f ∈ L2 (V ),                 (34.18)

сопоставляющее билинейной форме (34.1) ее матрицу (34.16), явля-
ется изморфизмом линейных пространств; в частности, простран-
ство билинейных форм также является к.л.п. и dim(L2 (V )) = n2 .
   Доказательство. Линейность отображения (34.18) очевидна в си-
лу формул (34.15): сумме билинейных форм отвечает сумма соот-
ветствующих матриц; при умножении формы на скаляр ее матрица
умножается на тот же скаляр.
   Мономорфность отображения (34.18) вытекает из того факта, что
б.ф. однозначно [по формуле (34.17)] восстанавливается по своей
матрице.
   Эпиморфность следует из того, что (в силу линейности коорди-
натного изоморфизма x 7→ x) по заданной квадратной (n×n)-матри-
це A формула (34.17) определяет билинейную форму f на V , причем
такую, что m(f ) = A. В самом деле, подставляя в (34.17) вместо
x и y базисные векторы bi и bj соответственно, мы получим сначала:
x = ei , y = ej и Aej = aj (j-й столбец матрицы A), а затем:

       f (bi , bj ) = ei t Aej = ei t aj = aij ; i, j = 1, ... , n. ¤   (34.19)


  Пример 34.5 (продолжение примера 34.1). Билинейной фор-
ме (34.6) в естественном базисе En арифметического линейного про-
странства P n отвечает, очевидно, та самая матрица A, с помощью
которой эта форма была задана. Действительно,

                         f (ei , ej ) = ei t · A · ej = aij .

  В частности, скалярному произведению (34.7) отвечает единичная
матрица A = En .
  Пример 34.6 (продолжение примера 34.3). Ситуция, аналогич-
ная случаю скалярного произведения (34.7), имеет место и примени-
тельно к б.ф. (34.10): эта форма фактически тоже является стан-
дартным скалярным произведением на n2 -мерном линейном про-
странстве V = L(n, P ).

Страницы