Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 436 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

436 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Предложение 34.2. При замене базиса матрица б.ф. пересчи-
тывается по формулам:
A
0
= T
t
AT ; A = S
t
A
0
S. (34.20)
Доказательство. Достаточно доказать первую из формул (34.2),
после чего, домножением ее обеих частей, справа на S = T
−1
, а
слева — на S
t
= (T
t
)
−1
, мы получим вторую формулу.
Пусть x и y — произвольные векторы из пространства V. В старом
базисе B (в новом базисе B
0
) им соответствуют координатные столб-
цы x и y (соответственно x
0
и y
0
). Согласно формулам пересчета
(7.12), имеют место выражения старых столбцов через новые:
x = T x
0
; y = T y
0
. (34.21)
Значение f(x, y) по формулам типа (34.17) может быть вычислено
в координатах относительно любого базиса. В данном случае мы
приходим к двум выражениям:
f(x, y) = (x
0
)
t
A
0
y
0
и
f(x, y) = x
t
Ay
(34.21)
=== (T x
0
)
t
A(T y
0
) = (x
0
)
t
(T
t
AT ) y
0
.
Приравнивая их, мы получим равенство
(x
0
)
t
A
0
y
0
= (x
0
)
t
(T
t
AT ) y
0
, (34.22)
которое (в силу произвольности x, y ∈ V ) должно быть справедели-
во для любых векторов-столбцов x
0
, y
0
∈ P
n
. Подставляя столбцы из
естественного базиса, x
0
= e
i
и y
0
= e
j
, и пользуясь выкладками,
аналогичными (34.19), мы приходим к выводу о равенстве соответ-
ствующих элементов
[A
0
]
ij
= [T
t
AT ]
ij
; i, j = 1, ... , n,
что и убеждает нас в справедливости равенства матриц, выражае-
мого первой из формул (34.20). ¤
Формулы (34.20) мотивируют следующее
436     Линейные, билинейные и квадратичные формы                            Гл. 4

  Предложение 34.2. При замене базиса матрица б.ф. пересчи-
тывается по формулам:

                         A0 = T t AT ; A = S t A0 S.                        (34.20)

   Доказательство. Достаточно доказать первую из формул (34.2),
после чего, домножением ее обеих частей, справа на S = T −1 , а
слева — на S t = (T t )−1 , мы получим вторую формулу.
   Пусть x и y — произвольные векторы из пространства V. В старом
базисе B (в новом базисе B0 ) им соответствуют координатные столб-
цы x и y (соответственно x0 и y 0 ). Согласно формулам пересчета
(7.12), имеют место выражения старых столбцов через новые:

                             x = T x0 ; y = T y 0 .                         (34.21)

  Значение f (x, y) по формулам типа (34.17) может быть вычислено
в координатах относительно любого базиса. В данном случае мы
приходим к двум выражениям:

                              f (x, y) = (x0 )t A0 y 0

и
                           (34.21)
         f (x, y) = xt Ay === (T x0 )t A(T y 0 ) = (x0 )t (T t AT ) y 0 .
    Приравнивая их, мы получим равенство

                        (x0 )t A0 y 0 = (x0 )t (T t AT ) y 0 ,              (34.22)

которое (в силу произвольности x, y ∈ V ) должно быть справедели-
во для любых векторов-столбцов x0 , y 0 ∈ P n . Подставляя столбцы из
естественного базиса, x0 = ei и y 0 = ej , и пользуясь выкладками,
аналогичными (34.19), мы приходим к выводу о равенстве соответ-
ствующих элементов

                     [A0 ]ij = [T t AT ]ij ; i, j = 1, ... , n,

что и убеждает нас в справедливости равенства матриц, выражае-
мого первой из формул (34.20). ¤
    Формулы (34.20) мотивируют следующее

Страницы