Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 438 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

438 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Определение 34.4. Рангом б.ф. f ∈ L
2
(V ) называется ранг мат-
рицы A, отвечающей f в некотором базисе B пространства V :
rank(f) = rank(A). (34.25)
Б.ф. f называется невырожденной, если ее ранг является макси-
мальным, т. е.
rank(f) = n, (34.26)
где n = dim(V ).
Пример 34.8. Билинейная форма (34.6) [см. примеры 34.1 и 34.5]
имеет ранг, совпадающий с рангом задающей эту форму матрицы.
В частности, скалярное произведение (34.7) является невырожден-
ной формой. Также невырожденны б.ф. (34.10) [см. примеры 34.3
и 34.6] и формы (34.11), (34.11
0
), (34.11
00
) [см. примеры 34.4 и 34.7].
34.5. Симметрические и антисимметрические б.ф. Наряду
с билинейной формой f ∈ L
2
(V ) [см. (34.1)], рассмотрим функцию
e
f : V ×V −→ P ; x 7→
e
f(x, y) = f(y, x); x, y ∈ V, (34.27)
которая, очевидно, также является б.ф.
Определение 34.5. Билинейная форма (34.1) называется сим-
метрической (антисимметрической), если
e
f = f (соответствен-
но
e
f = −f).
Будем использовать сокращения: с.б.ф. и а.б.ф.
Условиям симметричности (антисимметричности) можно придать
следующий вид (соответственно):
(∀x, y ∈ V ) [ f(y, x) = f(x, y) ]; (34.28s)
(∀x, y ∈ V ) [ f(y, x) = −f(x, y) ]. (34.28a)
В линейном пространстве б.ф. L
2
(V ) рассматриваются подмноже-
ство с.б.ф. L
2
s
(V ) и подмножество а.б.ф. L
2
a
(V ).
Если для вас не очевидно то, что оба этих подмножества являются
подпространствами, то берите ручку — и проверяйте.
Замечание 34.2. Тем же, кто прочитал предыдущие главы и, в ка-
кой-то степени, осознал их содержание, должно быть ясно даже
438     Линейные, билинейные и квадратичные формы                 Гл. 4

  Определение 34.4. Рангом б.ф. f ∈ L2 (V ) называется ранг мат-
рицы A, отвечающей f в некотором базисе B пространства V :

                           rank(f ) = rank(A).                   (34.25)

  Б.ф. f называется невырожденной, если ее ранг является макси-
мальным, т. е.
                         rank(f ) = n,                   (34.26)
где n = dim(V ).
   Пример 34.8. Билинейная форма (34.6) [см. примеры 34.1 и 34.5]
имеет ранг, совпадающий с рангом задающей эту форму матрицы.
В частности, скалярное произведение (34.7) является невырожден-
ной формой. Также невырожденны б.ф. (34.10) [см. примеры 34.3
и 34.6] и формы (34.11), (34.110 ), (34.1100 ) [см. примеры 34.4 и 34.7].

   34.5. Симметрические и антисимметрические б.ф. Наряду
с билинейной формой f ∈ L2 (V ) [см. (34.1)], рассмотрим функцию

       fe : V × V −→ P ; x 7→ fe(x, y) = f (y, x); x, y ∈ V,     (34.27)

которая, очевидно, также является б.ф.
  Определение 34.5. Билинейная форма (34.1) называется сим-
метрической (антисимметрической), если fe = f (соответствен-
но fe = −f ).
  Будем использовать сокращения: с.б.ф. и а.б.ф.
  Условиям симметричности (антисимметричности) можно придать
следующий вид (соответственно):

                    (∀ x, y ∈ V ) [ f (y, x) = f (x, y) ];      (34.28s)

                   (∀ x, y ∈ V ) [ f (y, x) = −f (x, y) ].      (34.28a)
   В линейном пространстве б.ф. L2 (V ) рассматриваются подмноже-
ство с.б.ф. L2s (V ) и подмножество а.б.ф. L2a (V ).
   Если для вас не очевидно то, что оба этих подмножества являются
подпространствами, то берите ручку — и проверяйте.
  Замечание 34.2. Тем же, кто прочитал предыдущие главы и, в ка-
кой-то степени, осознал их содержание, должно быть ясно даже

Страницы