Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 440 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

440 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Замечание 34.4. Произвольная б.ф. f в произвольном базисе B
может быть представлена координатной записью, в виде двойной
суммы (34.14
0
). Для с.б.ф. эту запись удобно перегруппировать сле-
дующим образом: сначала выписать n слагаемых, отвечающих диа-
гональным элементам a
ii
(i = 1, ... , n) матрицы A, а затем — остав-
шиеся n
2
− n слагаемых сгруппировать попарно так, чтобы каждая
из C
2
n
= n(n − 1)/2 пар обединяла слагаемое, содержащее элемент
a
ij
(1 6 i < j 6 n), и слагаемое, содержащее симметричный элемент
a
ji
= a
ij
. Так мы придем к выражению:
f(x, y) =
n
X
i=1
a
ii
x
i
y
i
+
X
16i<j6n
a
ij
(x
i
y
j
+ x
j
y
i
). (34.14s)
В случае антисимметричной формы диагональные коэффициен-
ты обращаются в нуль, а оставшиеся снова группируются попарно,
с учетом соотношений a
ji
= −a
ij
, что приводит к представлению:
f(x, y) =
X
16i<j6n
a
ij
(x
i
y
j
− x
j
y
i
). (34.14a)
В настоящей главе основным предметом нашего изучения будут
симметрические билинейные формы. Но это отнюдь не значит, что
антисимметрические менее важны. Скорее — наоборот. На тео-
рии а.б.ф. основаны самые интересные разделы геометрии, механи-
ки, физики. Однако все это пока останется за рамками нашего курса.
Заинтересованные читатели могут обратиться к указанным в списке
литературы (основным и дополнительным) учебникам. Для особен-
но заинтересованных дадим добавочную ссылку. Имеется многотом-
ный курс М. М. Постникова "Лекции по геометрии" (8 книг), в ко-
тором, в частности, представляется "с геометрическим акцентом"
изучаемая нами линейная алгебра (см. две версии лекций второго
семестра: "Линейная алгебра и дифференциальная геометрия", М.:
Наука, 1979 и "Линейная алгебра", М.: Наука, 1986).
Вспомним теперь содержание примера 9.2, где мы рассматривали
линейные пространства симметрических и антисимметрических мат-
риц (обозначавшиеся L
s
(n, P ) и L
a
(n, P ) соответственно). Из пред-
ложений 34.2 и 34.3 следует, что имеют место изоморфизмы
L
2
s
(V )
∼
=
L
s
(n, P ); L
2
a
(V )
∼
=
L
a
(n, P ), (34.29)
440     Линейные, билинейные и квадратичные формы                           Гл. 4

   Замечание 34.4. Произвольная б.ф. f в произвольном базисе B
может быть представлена координатной записью, в виде двойной
суммы (34.140 ). Для с.б.ф. эту запись удобно перегруппировать сле-
дующим образом: сначала выписать n слагаемых, отвечающих диа-
гональным элементам aii (i = 1, ... , n) матрицы A, а затем — остав-
шиеся n2 − n слагаемых сгруппировать попарно так, чтобы каждая
из Cn2 = n(n − 1)/2 пар обединяла слагаемое, содержащее элемент
aij (1 6 i < j 6 n), и слагаемое, содержащее симметричный элемент
aji = aij . Так мы придем к выражению:

                    n
                    X                     X
       f (x, y) =         aii xi yi +             aij (xi yj + xj yi ).   (34.14s)
                    i=1                 16i

Страницы