Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 446 стр.

446     Линейные, билинейные и квадратичные формы             Гл. 4

   Далее, всякое биективное отображение согласовано с алгебраи-
ческим действиями объединения и пересечения (образ пересечения
подмножеств равен пересечению образов и т. п.). Любой линейный
изоморфизм, будучи согласованным со сложением векторов, согла-
сован также и со сложением линейных подпространств: образ суммы
подпространств равен сумме образов.
   Это позволяет перенести в V соотношения двойственности. Ска-
жем, формулы (5а) и (6а) предложения 32.5 обретают новый облик:

 (M1 + M2 )⊥ = M1⊥ ∩ M2⊥ ; (M1 ∩ M2 )⊥ = M1⊥ + M2⊥ ; M1 , M2 6 V.

   Как объяснялось в § 33, всякому линейному оператору ϕ : V → W
соответствует двойственный оператор

                          ϕ∗ : W ∗ −→ V ∗ ;                  (34.41)

связь между ними выражается формулой (33.5). И это понятие, с по-
мощью двух невырожденных с.б.ф. f ∈ L2s (V ) и g ∈ L2s (W ), с при-
вличением соответствующих изоморфизмов f ] и g ] , переносится в
исходные пространства.
  Новым "воплощением" двойственного оператора (34.41) будет так
называемый (f, g)-сопряженный оператор

                            ϕ? : W −→ V,                     (34.42)

взаимодействие которого с исходным оператором ϕ может быть опи-
сано следующим аналогом формулы (33.5):

             f (x, ϕ? (y)) = g(ϕ(x), y) (∀ x ∈ V, y ∈ W ).   (34.43)

   (Обратите внимание на смену обозначений. То, что обычно имену-
ется "звездочкой", некоторые предпочитают называть "снежинкой".
В формуле (34.43) мы используем "настоящую", пятиконечную звез-
дочку, чтобы различить близкие, но не совпадающие понятия двой-
ственного и сопряженного операторов.)
   В данном замечании были (очень бегло) очерчены контуры важ-
нейшей главы линейной алгебры, которая находится на стыке с гео-
метрией и активно применяется во многих прикладных дисципли-
нах. Автор надеется уделить этой тематике серьезное внимание в
третьем томе пособия.