Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 449 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 35 Квадратичные формы. Формула поляризации 449
что и доказывает однозначность определения f по h. ¤
Замечание 35.1. Часто используется специфическая (пришедшая
из геометрии) терминология: с.б.ф. f называется полярной по отно-
шению к соответствующей ей квадратичной форме h, в связи с чем
формула (35.7) именуется формулой поляризации.
Вообще во всех темах данной главы "брезжит геометрия". Автор
надеется в третьем (заключительном) томе пособия, по возможно-
сти убедительно, продемонстрировать геометрические приложения
(и геометрические корни) линейной алгебры. А пока мы будем на-
капливать алгебраический (и алгоритмический) материал.
Замечание 35.2. Без предположения о симметричности билиней-
ной формы понятие квадратичной формы мало полезно, а в слу-
чае антисимметрических форм — тривиально: если f ∈ L
2
a
(V ), то
f(x, x) = 0 для любого x ∈ V.
Пример 35.1 (продолжение примеров 34.3 и 34.6). Билинейная
форма [см. (34.10)]
f(X, Y ) = tr(X
t
· Y )
на пространстве квадратных матриц V = L(n, P ) является симмет-
рической. В самом деле,
f(Y, X) = tr(Y
t
· X) = tr((X
t
· Y )
t
) = tr(X
t
· Y ) = f(X, Y ).
Соответствующая квадратичная форма имеет вид:
h(X) = f(X, X) = tr(X
t
· X),
или, с учетом (34.10
0
):
h(X) =
n
X
i,j=1
x
2
ij
.
35.2. Матрица и координатная запись для квадратичной
формы. Пусть V — n-мерное линейное пространство над полем P.
(Теперь и навсегда мы ограничимся полями характеристики, отлич-
ной от двух.) Фиксация базиса B = [ b
1
, ... , b
n
] в пространстве V
задает [см. (34.29)] линейный изоморфизм
m : L
2
s
(V )
∼
=
−→ L
s
(n, P ) (35.8)
§ 35        Квадратичные формы. Формула поляризации                            449

что и доказывает однозначность определения f по h. ¤
   Замечание 35.1. Часто используется специфическая (пришедшая
из геометрии) терминология: с.б.ф. f называется полярной по отно-
шению к соответствующей ей квадратичной форме h, в связи с чем
формула (35.7) именуется формулой поляризации.
   Вообще во всех темах данной главы "брезжит геометрия". Автор
надеется в третьем (заключительном) томе пособия, по возможно-
сти убедительно, продемонстрировать геометрические приложения
(и геометрические корни) линейной алгебры. А пока мы будем на-
капливать алгебраический (и алгоритмический) материал.
   Замечание 35.2. Без предположения о симметричности билиней-
ной формы понятие квадратичной формы мало полезно, а в слу-
чае антисимметрических форм — тривиально: если f ∈ L2a (V ), то
f (x, x) = 0 для любого x ∈ V.
  Пример 35.1 (продолжение примеров 34.3 и 34.6). Билинейная
форма [см. (34.10)]
                    f (X, Y ) = tr(X t · Y )
на пространстве квадратных матриц V = L(n, P ) является симмет-
рической. В самом деле,

       f (Y, X) = tr(Y t · X) = tr((X t · Y )t ) = tr(X t · Y ) = f (X, Y ).

   Соответствующая квадратичная форма имеет вид:

                        h(X) = f (X, X) = tr(X t · X),

или, с учетом (34.100 ):
                                          n
                                          X
                                h(X) =           x2ij .
                                         i,j=1




  35.2. Матрица и координатная запись для квадратичной
формы. Пусть V — n-мерное линейное пространство над полем P.
(Теперь и навсегда мы ограничимся полями характеристики, отлич-
ной от двух.) Фиксация базиса B = [ b1 , ... , bn ] в пространстве V
задает [см. (34.29)] линейный изоморфизм
                                         ∼
                                         =
                            m : L2s (V ) −→ Ls (n, P )                     (35.8)

Страницы