Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 453 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 36 Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу 453
Обратимую матрицу T , на которую данная матрица A умножает-
ся справа, можно, в соответствии с предложением 14.5 пособия [A
1
],
представить в виде произведения T = Q
1
Q
2
... Q
s
элементарных ма-
триц (трех типов: T
i,j
, S
j,i,λ
и M
i,λ
; см. п. 14.3 первого пособия).
Умножение A справа на элементарные матрицы равносильно вы-
полнению элементарных преобразований над столбцами A. Одна-
ко одновременно с этим матрица A умножается слева на матрицу
T
t
= Q
t
s
... Q
t
2
Q
t
1
. Следовательно, каждое из применямых элемен-
тарных преобразований над столбцами сопровождается однотипным
элементарным преобразованием над строками.
Как объяснялось в упомянутом выше пункте первого пособия,
элементарные матрицы типов I и III симметричны, так что (в дан-
ном случае) если над столбцами производится преобразование типов
I или III, то и над строками производится точно такое же преобра-
зование.
С преобразованиями типа II ситуация несколько иная, однако ре-
зультат получается тот же. В самом деле, если (квадратную) матри-
цу A умножить справа на элементарную матрицу S
j,i,λ
, то над столб-
цами A будет произведено элементарное преобразование i
стб
+j
стб
·λ
(внимание: именно так, а не наоборот, должны стоять индексы i и j).
Одновременно мы должны умножить A слева на S
t
j,i,λ
= S
i,j,λ
, т. е.
произвести над строками элементарное преобразование i
стр
+j
стр
·λ.
Итак, при переходе к конгруэнтной матрице всякое элементарное
преобразование над столбцами сопровождается точно таким же
элементарным преобразованием над строками.
Замечание 35.5. В терминах замечания 34.8 диагонализирующий
базис для с.б.ф. можно назвать f-ортогональным. Подробнее о гео-
метрической трактовке понятия диагонализируемости см. ниже,
в § 40.
§
§
§ 36. Диагонализация по Лагранжу
симметрических билинейных
(квадратичных) форм
36.1. Алгоритм Лагранжа диагонализации с.б.ф. (кв.ф.).
В данном пункте мы сформулируем и докажем теорему Лагранжа
о диагонализируемости произвольной с.б.ф. (кв.ф.), заданной над
§ 36   Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу                  453

   Обратимую матрицу T , на которую данная матрица A умножает-
ся справа, можно, в соответствии с предложением 14.5 пособия [A1 ],
представить в виде произведения T = Q1 Q2 ... Qs элементарных ма-
триц (трех типов: Ti,j , Sj,i,λ и Mi,λ ; см. п. 14.3 первого пособия).
Умножение A справа на элементарные матрицы равносильно вы-
полнению элементарных преобразований над столбцами A. Одна-
ко одновременно с этим матрица A умножается слева на матрицу
T t = Qts ... Qt2 Qt1 . Следовательно, каждое из применямых элемен-
тарных преобразований над столбцами сопровождается однотипным
элементарным преобразованием над строками.
   Как объяснялось в упомянутом выше пункте первого пособия,
элементарные матрицы типов I и III симметричны, так что (в дан-
ном случае) если над столбцами производится преобразование типов
I или III, то и над строками производится точно такое же преобра-
зование.
   С преобразованиями типа II ситуация несколько иная, однако ре-
зультат получается тот же. В самом деле, если (квадратную) матри-
цу A умножить справа на элементарную матрицу Sj,i,λ , то над столб-
цами A будет произведено элементарное преобразование iстб + j стб · λ
(внимание: именно так, а не наоборот, должны стоять индексы i и j).
                                                      t
Одновременно мы должны умножить A слева на Sj,i,λ         = Si,j,λ , т. е.
произвести над строками элементарное преобразование iстр + j стр · λ.
   Итак, при переходе к конгруэнтной матрице всякое элементарное
преобразование над столбцами сопровождается точно таким же
элементарным преобразованием над строками.
   Замечание 35.5. В терминах замечания 34.8 диагонализирующий
базис для с.б.ф. можно назвать f -ортогональным. Подробнее о гео-
метрической трактовке понятия диагонализируемости см. ниже,
в § 40.



          § 36. Диагонализация по Лагранжу
               симметрических билинейных
                  (квадратичных) форм

  36.1. Алгоритм Лагранжа диагонализации с.б.ф. (кв.ф.).
В данном пункте мы сформулируем и докажем теорему Лагранжа
о диагонализируемости произвольной с.б.ф. (кв.ф.), заданной над

Страницы