Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 456 стр.

456     Линейные, билинейные и квадратичные формы             Гл. 4

   Матрица T является матрицей перехода от исходного базиса к
диагонализирующему; она будет накапливаться постепенно, как про-
изведение T = Q1 Q2 ... Qs , где каждый из сомножителей отвечает од-
ному или нескольким (столбцовым) элементарным преобразованиям
(см. замечание 35.4).

А л г о р и т м 36. 1.
Приведение симметрической билинейной
(квадратичной) формы к диагональному виду
методом Лагранжа
   1. Если h = 0, то работать незачем, исходная матрица A = O уже
является диагональной (r = 0).
   2. Если h 6= 0, то возможны две ситуации:
   — либо форма (36.1) содержит хотя бы один член с квадратом
(т. е. в матрице A имеется хотя бы один ненулевой диагональный
элемент aii ),
   — либо диагональ A является чисто нулевой, т. е. (36.1) не со-
держит квадратов; однако тогда отличен от нуля хотя бы один из
коффициентов aij (i < j).
   2.1. В первом случае, при выполнении условия a11 6= 0, мы сразу
переходим к этапу 2.1.2. Если же a11 = 0, то необходим следующий
предварительный этап.
   2.1.1. Перенумеруем (а точнее — переименуем) переменные так,
чтобы первый диагональный элемент стал отличен от нуля. Если,
скажем, aii 6= 0, то производим замену координат, сводящуюся к
перестановке базисных векторов:

                x1 = yi ; xi = y1 ; xk = yk (k 6= 1, i).      (36.4)

  Формулы замены можно представить в матричном виде:

                               x = Q1 y,                      (36.5)

где Q1 = T1,i есть элементарная матрица типа I (см. формулу (14.3)
в [A1 ]); она служит матрицей перехода от исходного базиса к новому
базису, отличающемуся от старого лишь тем, что первый и i-й ба-
зисные векторы переставлены. (Можно добавить, что эта матрица
относится к числу матриц перестановочного перехода; см. замеча-
ние 13.5.)