Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 458 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

458 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Формулы (36.8) выражают новые переменные через старые. Для
того, чтобы увидеть матрицу перехода, надо выразить старые пере-
менные через новые. В данном случае это сделать легко:
x
1
= y
1
−
a
12
a
11
y
2
−
a
13
a
11
y
2
− . . . −
a
1n
a
11
y
n
;
x
2
= y
2
;
x
3
= y
3
;
···
.
.
.
x
n
= y
n
.
(36.9)
В векторной записи формулы (36.9) приобретают вид:
x = Q
2
y, (36.10)
где матрица перехода (показаны только ненулевые элементы)
Q
2
=
1 −
a
12
a
11
−
a
13
a
11
. . . −
a
1n
a
11
1
1
.
.
.
1
(36.11)
является верхней унитреугольной (подслово "уни" означает, что ди-
агональ заполнена единицами).
Нетрудно убедиться в том (хотя здесь это не очень нужно и ста-
новится важным лишь в программной реализации алгоритма), что
матрица (36.11) является произведением элементарных матриц ти-
па II (см. формулу (14.4) в [A
1
]):
Q
2
= S
1,2,λ
2
· S
1,3,λ
3
· ... · S
1,n,λ
n
, (36.12)
где λ
j
= −a
1j
/a
11
(j = 2, ... , n).
Описанная выше замена приводит кв.ф. к виду:
h(x) = µ
1
y
2
1
+
e
h(y
2
, ... , y
n
), (36.13)
где µ
1
= a
11
.
458      Линейные, билинейные и квадратичные формы                       Гл. 4

  Формулы (36.8) выражают новые переменные через старые. Для
того, чтобы увидеть матрицу перехода, надо выразить старые пере-
менные через новые. В данном случае это сделать легко:
                    a12       a13              a1n
     
      x1 = y1 −         y2 −      y2 − . . . −     yn ;
     
                    a11       a11              a11
     
     
     
     
     
      x2 =              y2                            ;
                                                          (36.9)
     
      x   =                       y                   ;
     
        3                          3
     
                                        ..
     
      ···                                  .
     
     
       xn =                                         yn .

  В векторной записи формулы (36.9) приобретают вид:

                                      x = Q2 y,                         (36.10)

где матрица перехода (показаны только ненулевые элементы)
                                 a12        a13                a1n 
                          1   −          −         ...      −
                                 a11        a11                a11 
                                                                   
                                 1                                 
                                                                   
                 Q2 = 
                      
                                                                    
                                                                       (36.11)
                                            1                      
                                                  ..               
                                                       .           
                                                                1

является верхней унитреугольной (подслово "уни" означает, что ди-
агональ заполнена единицами).
   Нетрудно убедиться в том (хотя здесь это не очень нужно и ста-
новится важным лишь в программной реализации алгоритма), что
матрица (36.11) является произведением элементарных матриц ти-
па II (см. формулу (14.4) в [A1 ]):

                   Q2 = S1,2,λ2 · S1,3,λ3 · ... · S1,n,λn ,             (36.12)

где λj = −a1j /a11 (j = 2, ... , n).
   Описанная выше замена приводит кв.ф. к виду:

                      h(x) = µ1 y12 + e
                                      h(y2 , ... , yn ),                (36.13)

где µ1 = a11 .

Страницы