Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 462 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

462 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Пример 36.1. Приведем к диагональному виду следующую ква-
дратичную форму (основным полем можно считать Q):
h(x) = x
2
1
+ 4x
2
2
+ x
2
3
− 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
.
В данном примере n = 3 и матрицей для h служит
A =
1 −2 1
−2 4 0
1 0 1.
.
(Обратите внимание на "располовинивание" коэффициентов при
произведениях переменных. Скажем, коэффициент −4 при x
1
x
2
в
форме h — это сумма двух равных друг другу элементов симметри-
ческой матрицы A: −4 = a
12
+a
21
= 2a
12
, и поэтому: a
12
= a
21
= −2.)
В методе Лагранжа приходится параллельно вести
Преобразование Протокол
квадратичной формы: замен переменных:
первый прием Лагранжа: вводим новые переменные
h(x)=
(
x
2
1
−4x
1
x
2
+2x
1
x
3
)
+4x
2
2
+x
2
3
= и выражаем через них старые:
=(x
1
−2x
2
+x
3
)
2
− y
1
=x
1
−2x
2
+x
3
; x
1
=y
1
+2y
2
−y
3
;
−(4x
2
2
+x
2
3
−4x
1
x
2
)+4x
2
2
+x
2
3
= y
2
= x
2
; x
2
= y
2
;
=(x
1
−2x
2
+x
3
)
2
+4x
2
x
3
= y
3
= x
3
; x
3
= y
3
;
=y
2
1
+4y
2
y
3
=...
второй прием Лагранжа: вводим новые переменные
и выражаем через них самые старые:
y
1
=z
1
; x
1
=z
1
+z
2
−3z
3
;
y
2
= z
2
−z
3
; x
2
= z
2
− z
3
;
...=z
2
1
+4z
2
2
−4z
2
3
. y
3
= z
2
+z
3
; x
3
= z
2
+ z
3
;
результирующая матрица перехода:
диагональная матрица:
D=
1 0 0
0 4 0
0 0 −4
; T =
1 1 −3
0 1 −1
0 1 1
.
462             Линейные, билинейные и квадратичные формы                                                    Гл. 4

  Пример 36.1. Приведем к диагональному виду следующую ква-
дратичную форму (основным полем можно считать Q):

                            h(x) = x21 + 4x22 + x23 − 4x1 x2 + 2x1 x3 .

    В данном примере n = 3 и матрицей для h служит
                                                           
                                                1      −2 1
                                         A =  −2      4  0 .
                                                1      0 1.

  (Обратите внимание на "располовинивание" коэффициентов при
произведениях переменных. Скажем, коэффициент −4 при x1 x2 в
форме h — это сумма двух равных друг другу элементов симметри-
ческой матрицы A: −4 = a12 +a21 = 2a12 , и поэтому: a12 = a21 = −2.)
  В методе Лагранжа приходится параллельно вести


Преобразование                                        Протокол
квадратичной формы:                                   замен переменных:

первый прием Лагранжа:                                вводим новые переменные
h(x)=(x21 −4x1 x2 +2x1 x3 )+4x22 +x23 =               и выражаем через них старые:
=(x1 −2x2 +x3 )2 −                                    y1 =x1 −2x2 +x3 ;                   x1 =y1 +2y2 −y3 ;
       −(4x22 +x23 −4x1 x2 )+4x22 +x23 =              y2 =         x2           ;         x2 =       y2      ;
=(x1 −2x2 +x3 )2 +4x2 x3 =                            y3 =              x3 ;              x3 =            y3 ;
                                  =y12 +4y2 y3 =...


второй прием Лагранжа:                                вводим новые переменные
                                                      и выражаем через них самые старые:
                                                      y1 =z1            ;               x1 =z1 +z2 −3z3 ;
                                                      y2 =       z2 −z3 ;               x2 =     z2 − z3 ;
...=z12 +4z22 −4z32 .                                 y3 =       z2 +z3 ;               x3 =     z2 + z3 ;


результирующая                                        матрица перехода:
диагональная матрица:
                                                                                 
            1    0      0                                    1     1    −3
                                                                        
    D=
      0         4      0    ;
                                                     T =
                                                         0        1    −1 
                                                                           .
        0        0      −4                                   0     1        1

Страницы