Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 471 стр.

§ 37   Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта             471

и, аналогично:
              (4)            (4)
            A          A           (4)       ∆4
         t24 42 ; t34 = 43 ; ∆3 = A44 ; µ4 =    .            (37.13b)
            ∆3          ∆3                   ∆3

   Наше рассмотрение случая n = 4 было даже избыточно подроб-
ным. В общем случае ("с многоточиями") все — точно так же, надо
только (пользуясь свойствами определителей) внимательно следить
за сменами знака (при вынесеннии −1 из столбца и при транспорти-
ровке этого столбца на "свое место").
   Доказательство завершено. ¤
  Переоформим проведенное выше доказательное рассуждение в
описание алгоритма.

А л г о р и т м 37. 1.
Приведение симметрической билинейной
(квадратичной) формы к диагональному виду
методом Якоби

   Пусть с.б.ф. f ∈ Ls (V ) [кв.ф. h ∈ K(V )] задана в некотором бази-
се B n-мерного пространства V симметрической (n × n)-матрицей A.
   1. Вычисляем для A угловые миноры ∆i (i = 1, ... , n). Если все
они, кроме, может быть, ∆n , отличны от нуля, то метод Якоби при-
меним, причем диагональный вид заданных форм можно записать
сразу; для h он таков:

                    ∆1 2 ∆2 2              ∆n 2
         h(x) =        y1 +    y2 + ... +     y ; x ∈ V,       (37.14)
                    ∆0      ∆1            ∆n−1 n

где ∆0 = 1, а новые переменные yi (i = 1, ... , n) являются коорди-
натами вектора x в новом (диагонализирующем) базисе D, который
связан с B матрицей перехода T , подлежащей определению далее.
   2. Матрицу перехода ищем в виде (37.7) с неопределенными над-
диагональными элементами tij (1 6 i < j 6 n). Для определения
этих элементов вычисляем и приравниваем нулю наддиагональные
элементы в матричном произведении AT. Остается решить получен-
ную с.л.у.
   О т в е т должен содержать:
   — диагональный вид данной формы (или диагональную матрицу,
составленную из ее коэффициентов);