Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 472 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

472 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
— унитреугольную матрицу перехода T (или — выписанные в раз-
вернутом виде — формулы перехода x = T y, выражающие старые
переменные через новые).
Замечание 37.2 (для служебного использования). Трудно объяс-
нить почему, но в большинстве учебников по линейной алгебре изла-
гается несколько иная версия метода Якоби, приводящая к "перевер-
нутым" [по сравнению с (37.14)] диагональным элементам ∆
i−1
/∆
i
,
что приводит к усилению условий, необходимых для применимо-
сти метода: приходится требовать, чтобы старший угловой минор
∆
n
= det(A) также был отличен от нуля.
Замечание 37.3. Процесс диагонализации по Якоби обладает важ-
ной особенностью, проистекающей из унитреугольного характера
матрицы перехода T [см. (37.7)] от исходного базиса B = [b
1
, b
2
, ... , b
n
]
к диагонализирующему базису D = [d
1
, d
2
, ... , d
n
].
Заметим, что обратная матрица S = T
−1
также является унитре-
угольной:
S =
1 s
12
s
13
. . . s
1n
0 1 s
23
. . . s
2n
0 0 1 . . . s
3n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
; (37.15)
чтобы в этом убедиться, достаточно представить себе последователь-
ность действий (T |E) → (E|S) при отыскании обратной матрицы
методом Жордана — Гаусса.
Из формул прямого (от B к D) и обратного (от D к B) переходов,
которые можно представить следующим образом:
d
1
= b
1
;
d
2
= t
12
b
1
+ b
2
;
d
3
= t
13
b
1
+ t
23
b
2
+ b
3
;
...................................................................
d
n
=
t
1n
b
1
+
t
2n
b
2
+
t
3n
b
3
+
...
+
t
(n−1)n
b
n−1
+
b
n
;
(37.16)
b
1
= d
1
;
b
2
= s
12
d
1
+ d
2
;
b
3
= s
13
d
1
+ s
23
d
2
+ d
3
;
...................................................................
b
n
= s
1n
d
1
+ s
2n
d
2
+ s
3n
d
3
+ ... + s
(n−1)n
d
n−1
+ d
n
,
(37.17)
472        Линейные, билинейные и квадратичные формы                                  Гл. 4

  — унитреугольную матрицу перехода T (или — выписанные в раз-
вернутом виде — формулы перехода x = T y, выражающие старые
переменные через новые).
   Замечание 37.2 (для служебного использования). Трудно объяс-
нить почему, но в большинстве учебников по линейной алгебре изла-
гается несколько иная версия метода Якоби, приводящая к "перевер-
нутым" [по сравнению с (37.14)] диагональным элементам ∆i−1 /∆i ,
что приводит к усилению условий, необходимых для применимо-
сти метода: приходится требовать, чтобы старший угловой минор
∆n = det(A) также был отличен от нуля.
   Замечание 37.3. Процесс диагонализации по Якоби обладает важ-
ной особенностью, проистекающей из унитреугольного характера
матрицы перехода T [см. (37.7)] от исходного базиса B = [b1 , b2 , ... , bn ]
к диагонализирующему базису D = [d1 , d2 , ... , dn ].
   Заметим, что обратная матрица S = T −1 также является унитре-
угольной:
                          1 s12 s13 . . . s1n
                                     0     1    s23 . . . s2n
                             S= 0          0      1    . . . s3n ;                   (37.15)
                                    ... ... ... ... ...
                                     0     0      0    ...    1
чтобы в этом убедиться, достаточно представить себе последователь-
ность действий (T |E) → (E|S) при отыскании обратной матрицы
методом Жордана — Гаусса.
  Из формул прямого (от B к D) и обратного (от D к B) переходов,
которые можно представить следующим образом:
    
     d1 = b1 ;
    
    
     d2 = t12 b1 + b2 ;
      d3 = t13 b1 + t23 b2 + b3 ;                                         (37.16)
    
    
     ...................................................................
    
      dn = t1n b1 + t2n b2 + t3n b3 + ... + t(n−1)n bn−1 + bn ;
      
       b1 =         d1 ;
      
      
       b2 = s12 d1 +            d2 ;
        b3 = s13 d1 + s23 d2 +                d3 ;                                   (37.17)
      
      
       ...................................................................
      
        bn = s1n d1 + s2n d2 + s3n d3 + ... + s(n−1)n dn−1 +                  dn ,

Страницы