Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 474 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

474 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Приравнивая найденные элементы к нулю и решая полученную
с.л.у., находим:
t
12
= 6; t
13
= 0; t
14
=
29
25
; t
23
= −1; t
24
= −
16
25
; t
34
= 0.
Заполняем матрицу T и выписываем выражения для старых пе-
ременных через новые:
x
1
= y
1
+6 y
2
+
29
25
y
4
;
x
2
= y
2
−y
3
−
16
25
y
4
;
x
3
= y
3
;
x
4
= y
4
.
Как и после разбора примера 36.1, мы сообщим о том, что диа-
гонализация квадратичных форм по Якоби также будет входить в
ТР3 (см. § 39).
37.2. Алгоритм Грама — Шмидта диагонализации с.б.ф.
Если матрица A, отвечающая с.б.ф. f ∈ L
2
s
(V ) в некотором ба-
зисе B, удовлетворяет условиям Якоби (37.3), то, согласно теоре-
ме 37.1, для формы f существует диагонализирующий базис D, свя-
занный с B взаимно обратными унитреугольными матрицами (37.7)
и (37.15), причем можно выписать в явном виде диагональные эле-
менты [см. (37.4)] диагональной матрицы D, отвечающей данной
с.б.ф. в базисе D:
f(d
i
, d
i
) = µ
i
=
∆
i
∆
i−1
; i = 1, ..., n. (37.19)
Важно, что первые n − 1 из элементов (37.19) гарантированно
отличны от нуля.
Алгоритм 37.1 дает возможность прямого вычисления матрицы
перехода T . Однако в вычислительном отношении значительно бо-
лее выгодна рекуррентная процедура построения диагонализирую-
щего базиса, известная как метод Грама — Шмидта, к изложению
которой мы приступаем.
Вернемся к формулам обратного перехода (37.17) и придадим им
рекуррентный характер, выражая (для любого k = 2, ..., n) из k-й
формулы новый вектор d
k
через старый вектор b
k
и ранее найденные
474    Линейные, билинейные и квадратичные формы                    Гл. 4

   Приравнивая найденные элементы к нулю и решая полученную
с.л.у., находим:

                                29                    16
      t12 = 6; t13 = 0; t14 =      ; t23 = −1; t24 = − ; t34 = 0.
                                25                    25

  Заполняем матрицу T и выписываем выражения для старых пе-
ременных через новые:
                
                
                 x1    = y1      +6 y2              + 29
                                                       25 y4 ;
                                                      16
                  x2    =            y2      − y3    − 25 y4 ;
                
                 x     =                      y3            ;
                 3
                  x4    =                                 y4 .

  Как и после разбора примера 36.1, мы сообщим о том, что диа-
гонализация квадратичных форм по Якоби также будет входить в
ТР3 (см. § 39).

   37.2. Алгоритм Грама — Шмидта диагонализации с.б.ф.
Если матрица A, отвечающая с.б.ф. f ∈ L2s (V ) в некотором ба-
зисе B, удовлетворяет условиям Якоби (37.3), то, согласно теоре-
ме 37.1, для формы f существует диагонализирующий базис D, свя-
занный с B взаимно обратными унитреугольными матрицами (37.7)
и (37.15), причем можно выписать в явном виде диагональные эле-
менты [см. (37.4)] диагональной матрицы D, отвечающей данной
с.б.ф. в базисе D:

                                         ∆i
                  f (di , di ) = µi =        ; i = 1, ..., n.    (37.19)
                                        ∆i−1

  Важно, что первые n − 1 из элементов (37.19) гарантированно
отличны от нуля.
  Алгоритм 37.1 дает возможность прямого вычисления матрицы
перехода T . Однако в вычислительном отношении значительно бо-
лее выгодна рекуррентная процедура построения диагонализирую-
щего базиса, известная как метод Грама — Шмидта, к изложению
которой мы приступаем.
  Вернемся к формулам обратного перехода (37.17) и придадим им
рекуррентный характер, выражая (для любого k = 2, ..., n) из k-й
формулы новый вектор dk через старый вектор bk и ранее найденные

Страницы