Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 476 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

476 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
d
1
= b
1
;
d
2
= b
2
−
f(d
1
,b
2
)
f(d
1
,d
1
)
d
1
;
d
3
= b
3
−
f(d
1
,b
3
)
f(d
1
,d
1
)
d
1
−
f(d
2
,b
3
)
f(d
2
,d
2
)
d
2
;
.....................................................................
d
n
= b
n
−
f(d
1
,b
n
)
f(d
1
,d
1
)
d
1
−
f(d
2
,b
n
)
f(d
2
,d
2
)
d
2
− ... −
f(d
n−1
,b
n
)
f(d
n−1
,d
n−1
)
d
n−1
.
(37.25)
Подведем итог нашим вычислениям. Справедлива следующая
Теорема 37.2 (теорема Грама — Шмидта). Пусть на n-мерном
линейном пространстве V задана с.б.ф. f, матрица которой в неко-
тором базисе B удовлетворяет условиям Якоби. Тогда рекуррентные
соотношения (37.25) определяют в пространстве V диагонализиру-
ющий базис D, связанный с исходным базисом свойством (37.18) ра-
венства линейных оболочек для соответствующих подбазисов.
Доказательство см. выше. ¤
Замечание 37.4. Метод Грама — Шмидта будет играть ключевую
роль в геометрических главах нашего курса. Там он будет фигури-
ровать в соответствующей (геометрической) формулировке и — под
другим именем: процесс f-ортогонализации базиса.
Напомним (см. замечания 34.8 и 35.5), что векторы x, y ∈ V
называются f-ортогональными, если f(x, y) = 0. Базис называют
f-ортогональным, если попарно f-ортогональны входящие в него
векторы; это понятие равносильно понятию диагонализирующего ба-
зиса (для f).
Ниже приводится версия Грама — Шмидта для алгоритма 37.1.
А л г о р и т м 37. 2.
Приведение симметрической билинейной
(квадратичной) формы к диагональному виду
методом Грама — Шмидта
Постановку задачи, а также подробное содержание первого эта-
па, — см. в описании алгоритма 37.1.
476       Линейные, билинейные и квадратичные формы                                        Гл. 4


 
 
  d1 = b1 ;
 
 
 
 
 
  d2 = b2 − ff (d   (d1 ,b2 )
                                d1 ;
 
                       1 ,d1 )
 
 
 
   d3 = b3 − ff (d   (d1 ,b3 )
                          ,d  ) d 1 −  f (d2 ,b3 )
                                       f (d2 ,d2 ) d2 ;                                   (37.25)
 
 
                        1 1
 
 
 
  .....................................................................
 
 
 
 
 
 
  d = b − f (d1 ,bn ) d − f (d2 ,bn ) d − ... − f (dn−1 ,bn ) d
     n       n      f (d1 ,d1 ) 1       f (d2 ,d2 ) 2             f (dn−1 ,dn−1 ) n−1 .


  Подведем итог нашим вычислениям. Справедлива следующая

   Теорема 37.2 (теорема Грама — Шмидта). Пусть на n-мерном
линейном пространстве V задана с.б.ф. f , матрица которой в неко-
тором базисе B удовлетворяет условиям Якоби. Тогда рекуррентные
соотношения (37.25) определяют в пространстве V диагонализиру-
ющий базис D, связанный с исходным базисом свойством (37.18) ра-
венства линейных оболочек для соответствующих подбазисов.
  Доказательство см. выше. ¤
    Замечание 37.4. Метод Грама — Шмидта будет играть ключевую
роль в геометрических главах нашего курса. Там он будет фигури-
ровать в соответствующей (геометрической) формулировке и — под
другим именем: процесс f -ортогонализации базиса.
    Напомним (см. замечания 34.8 и 35.5), что векторы x, y ∈ V
называются f -ортогональными, если f (x, y) = 0. Базис называют
f -ортогональным, если попарно f -ортогональны входящие в него
векторы; это понятие равносильно понятию диагонализирующего ба-
зиса (для f ).
  Ниже приводится версия Грама — Шмидта для алгоритма 37.1.

А л г о р и т м 37. 2.
Приведение симметрической билинейной
(квадратичной) формы к диагональному виду
методом Грама — Шмидта

   Постановку задачи, а также подробное содержание первого эта-
па, — см. в описании алгоритма 37.1.

Страницы