Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 477 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 37 Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта 477
1. Проверка выполнения условий Якоби и возвращение диаго-
нального вида с.б.ф. (кв.ф.).
2. Заполнение унитреугольной матрицы перехода S по формулам
(37.24), выражающим элементы s
ij
через значения с.б.ф. f, или же —
возращение диагонализирующего базиса, определяемого рекуррент-
ными соотношениями (37.25).
Пример 37.2. Перерешаем с помощью алгоритма 37.2 задачу из
примера 37.1. Задана своим координатным выражением в некотором
базисе квадратичная форма
h(x) = x
2
1
− 14x
2
2
− 18x
2
3
+ 5x
2
4
+
+ 2(−6x
1
x
2
− 6x
1
x
3
− 5x
1
x
4
− 14x
2
x
3
− 2x
2
x
4
− 2x
3
x
4
).
Как обычно, можно считать осуществленной арифметизацию за-
дачи, относя приведенную выше формулу к естественному базису
B = E
4
в пространстве V , отождествленном с арифметическим ли-
нейным пространством Q
4
.
Для реализации алгоритма 37.2 необходима формула для с.б.ф. f,
полярной квадратичной форме h [вспомните представление (34.14s)]:
f(x, y) = x
1
y
1
− 14x
2
y
2
− 18x
3
y
3
+ 5x
4
y
4
−
− 6(x
1
y
2
+ x
2
y
1
) −6(x
1
y
3
+ x
3
y
1
) − 5(x
1
y
4
+ x
4
y
1
)−
− 14(x
2
y
3
+ x
3
y
2
) − 2(x
2
y
4
+ x
4
y
2
) − 2(x
3
y
4
+ x
4
y
3
).
Начинаем процесс ортогонализации. Векторы искомого диагона-
лизирующего (f-ортогонального) базиса
D = [d
1
, d
2
, d
3
, d
4
]
определяются последовательно:
d
1
= e
1
=
1
0
0
0
;
d
2
= e
2
−
f(d
1
, e
2
)
f(d
1
, d
1
)
d
1
=
0
1
0
0
−
(−6)
1
1
0
0
0
=
6
1
0
0
;
§ 37   Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта                      477

   1. Проверка выполнения условий Якоби и возвращение диаго-
нального вида с.б.ф. (кв.ф.).
   2. Заполнение унитреугольной матрицы перехода S по формулам
(37.24), выражающим элементы sij через значения с.б.ф. f , или же —
возращение диагонализирующего базиса, определяемого рекуррент-
ными соотношениями (37.25).
  Пример 37.2. Перерешаем с помощью алгоритма 37.2 задачу из
примера 37.1. Задана своим координатным выражением в некотором
базисе квадратичная форма

  h(x) = x21 − 14x22 − 18x23 + 5x24 +
            + 2(−6x1 x2 − 6x1 x3 − 5x1 x4 − 14x2 x3 − 2x2 x4 − 2x3 x4 ).

  Как обычно, можно считать осуществленной арифметизацию за-
дачи, относя приведенную выше формулу к естественному базису
B = E4 в пространстве V , отождествленном с арифметическим ли-
нейным пространством Q4 .
  Для реализации алгоритма 37.2 необходима формула для с.б.ф. f ,
полярной квадратичной форме h [вспомните представление (34.14s)]:

  f (x, y) = x1 y1 − 14x2 y2 − 18x3 y3 + 5x4 y4 −
         − 6(x1 y2 + x2 y1 ) − 6(x1 y3 + x3 y1 ) − 5(x1 y4 + x4 y1 )−
                − 14(x2 y3 + x3 y2 ) − 2(x2 y4 + x4 y2 ) − 2(x3 y4 + x4 y3 ).

  Начинаем процесс ортогонализации. Векторы искомого диагона-
лизирующего (f -ортогонального) базиса

                            D = [d1 , d2 , d3 , d4 ]

определяются последовательно:
                                             
                                             1
                                        0
                             d 1 = e1 =   ;
                                             0
                                             0

                                                           
                                        0                1      6
                     f (d1 , e2 )      1       (−6)   0 1
         d2 = e2 −                d1 =   −       1      =  ;
                     f (d1 , d1 )       0                0      0
                                        0                0      0

Страницы