Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 478 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

478 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
d
3
= e
3
−
f(d
1
, e
3
)
f(d
1
, d
1
)
d
1
−
f(d
2
, e
3
)
f(d
2
, d
2
)
d
2
=
=
0
0
1
0
−
(−6)
1
1
0
0
0
−
(−50)
(−50)
6
1
0
0
=
0
−1
1
0
;
d
4
= e
4
−
f(d
1
, e
4
)
f(d
1
, d
1
)
d
1
−
f(d
2
, e
4
)
f(d
2
, d
2
)
d
2
−
f(d
3
, e
4
)
f(d
3
, d
3
)
d
3
=
=
0
0
0
1
−
(−5)
1
1
0
0
0
−
(−32)
(−50)
6
1
0
0
−
0
(−4)
0
−1
1
0
=
29/25
−16/25
0
1
.
Вновь найденные базисные векторы составляют матрицу перехода
T =
¡
d
1
¯
¯
d
2
¯
¯
d
3
¯
¯
d
4
¢
=
1 6 0 29/25
0 1 −1 −16/25
0 0 1 0
0 0 0 1
.
Результат сошелся с полученным в примере 37.1.
§
§
§ 38. Симметрические билинейные
(квадратичные) формы
над полем действительных чисел.
Сигнатура. Теорема инерции
38.1. Нормальный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R
R
R. По-
ле действительных чисел не является алгебраически замкнутым. Бо-
лее того, не из любого действительного числа можно извлечь квад-
ратный корень. В связи с этим, над полем R теряют силу предло-
жения 36.1 и 36.2, что приводит к некоторому усложнению теории
симметрических билинейных (квадратичных) форм, по сравнению,
скажем, со случаем поля C.
Однако в R есть то, чего нет в C, — естественный порядок, воз-
можность сравнивать числа: для любых λ, µ ∈ R имеет место одно
478     Линейные, билинейные и квадратичные формы                                      Гл. 4

              f (d1 , e3 )      f (d2 , e3 )
  d3 = e3 −                d1 −              d2 =
              f (d1 , d1 )      f (d2 , d2 )
                                                                                
                               0                    1                   6          0
                          0              (−6)    0         (−50)    1   −1 
                         = −              1       −        (−50)     =  ;
                               1                    0                   0          1
                               0                    0                   0          0




           f (d1 , e4 )      f (d2 , e4 )      f (d3 , e4 )
  d4 = e4 −             d1 −              d2 −              d3 =
           f (d1 , d1 )      f (d2 , d2 )      f (d3 , d3 )
                                                                              
         0               1                     6                  0          29/25
       0       (−5)   0        (−32)   1            0     −1   −16/25 
      = −        1     −       (−50)    −         (−4)    =           .
         0               0                     0                  1            0
         1               0                     0                  0            1


  Вновь найденные базисные векторы составляют матрицу перехода
                                                                 
                                       6       1        0  29/25
                 ¡ ¯ ¯ ¯ ¢ 0 1                         −1 −16/25 
              T = d1 ¯d2 ¯d3 ¯d4 =                               .
                                     0 0                1    0
                                     0 0                0    1

  Результат сошелся с полученным в примере 37.1.



             § 38. Симметрические билинейные
                  (квадратичные) формы
             над полем действительных чисел.
               Сигнатура. Теорема инерции

   38.1. Нормальный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R . По-
ле действительных чисел не является алгебраически замкнутым. Бо-
лее того, не из любого действительного числа можно извлечь квад-
ратный корень. В связи с этим, над полем R теряют силу предло-
жения 36.1 и 36.2, что приводит к некоторому усложнению теории
симметрических билинейных (квадратичных) форм, по сравнению,
скажем, со случаем поля C.
   Однако в R есть то, чего нет в C, — естественный порядок, воз-
можность сравнивать числа: для любых λ, µ ∈ R имеет место одно

Страницы