Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 480 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

480 Линейные, билинейные и квадратичные формы Гл. 4
Меняя, в случае необходимости, нумерацию базисных векторов,
мы всегда можем добиться такого расположения диагональных эле-
ментов, чтобы в начале диагонали находились s положительных чи-
сел: µ
1
, ... , µ
s
, а за ними следовали t отрицательных: µ
s+1
, ... , µ
r
(если r < n, то далее на диагонали будут еще располагаться n − r
нулей).
Далее применяется такой прием: если в одночлене второй сте-
пени ax
2
коэффициент a является положительным действительным
числом, то этот одночлен можно представить как квадрат линейного
одночлена:
ax
2
= (
√
a x)
2
;
если же a < 0, то надо записать a = (−1)(−a) и, оставив −1 пе-
ред скобкой, "подвести под общий квадрат" корень квадратный из
положительного числа −a:
ax
2
= −(
√
−a x)
2
.
Применяя описанный прием ко всем слагаемым в (38.2), мы по-
лучим:
h(x) = (
√
µ
1
x
1
)
2
+ ... + (
√
µ
s
x
s
)
2
−
− (
p
−µ
s+1
x
s+1
)
2
− ... − (
√
−µ
r
x
r
)
2
. (38.3)
Теперь ясно, какую замену переменных надо произвести, чтобы в
новом диагональном виде, в качестве коэффициентов при квадратах
фигурировали только единицы, минус единицы и нули:
x
i
=
1
√
µ
i
y
i
, при i = 1, ... , s;
1
√
−µ
i
y
i
, при i = s + 1, ... , r;
y
i
, при i = r + 1, ... , n.
(38.4)
(Обратите внимание на третью строку в последней формуле: за-
мена должна распространяться на все переменные, в том числе и
на те, которые в явном виде в квадратичной форме отстутствуют.
Фактически, "замена" x
i
= y
i
ничего не меняет, просто происходит
переименование "незадействованных" переменных, связанное с об-
щим переходом "к новой букве".)
480     Линейные, билинейные и квадратичные формы                   Гл. 4

   Меняя, в случае необходимости, нумерацию базисных векторов,
мы всегда можем добиться такого расположения диагональных эле-
ментов, чтобы в начале диагонали находились s положительных чи-
сел: µ1 , ... , µs , а за ними следовали t отрицательных: µs+1 , ... , µr
(если r < n, то далее на диагонали будут еще располагаться n − r
нулей).
   Далее применяется такой прием: если в одночлене второй сте-
пени ax2 коэффициент a является положительным действительным
числом, то этот одночлен можно представить как квадрат линейного
одночлена:                            √
                               ax2 = ( a x)2 ;
если же a < 0, то надо записать a = (−1)(−a) и, оставив −1 пе-
ред скобкой, "подвести под общий квадрат" корень квадратный из
положительного числа −a:
                                     √
                             ax2 = −( −a x)2 .

  Применяя описанный прием ко всем слагаемым в (38.2), мы по-
лучим:
          √                  √
  h(x) = ( µ1 x1 )2 + ... + ( µs xs )2 −
                             p                       √
                          − ( −µs+1 xs+1 )2 − ... − ( −µr xr )2 .   (38.3)

  Теперь ясно, какую замену переменных надо произвести, чтобы в
новом диагональном виде, в качестве коэффициентов при квадратах
фигурировали только единицы, минус единицы и нули:
                            1
                      
                          √ yi , при i = 1, ... , s;
                      
                             µi
                      
               xi =         1                                       (38.4)
                      
                         √      yi , при i = s + 1, ... , r;
                      
                           −µi
                      
                                 yi , при i = r + 1, ... , n.

  (Обратите внимание на третью строку в последней формуле: за-
мена должна распространяться на все переменные, в том числе и
на те, которые в явном виде в квадратичной форме отстутствуют.
Фактически, "замена" xi = yi ничего не меняет, просто происходит
переименование "незадействованных" переменных, связанное с об-
щим переходом "к новой букве".)

Страницы