Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 481 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 38 Квадратичные формы над полем R
R
R. Сигнатура 481
В результате замены (38.4) кв.ф. (38.3) приобретет вид:
h(x) = y
2
1
+ ... + y
2
s
− y
2
s+1
− ... − y
2
r
= y
t
Gy, (38.5)
где
G
n×n
=
E
s
s×s
O
s×t
O
s×(n−r)
O
t×s
−E
t
t×t
O
t×(n−r)
O
(n−r)×s
O
(n−r)×t
O
(n−r)×(n−r)
. (38.6)
Основной результат данного пункта получен. Остается ввести но-
вый термин для полученного выше вида (38.5) — самого простого
из возможных диагональных видов для матриц, отвечающих сим-
метрическим билинейным (квадратичным) формам над R, и сфор-
мулировать (уже установленный) результат.
Определение 38.1. Нормализирующим базисом для симметри-
ческой билинейной (квадратичной) формы над полем R называется
такой диагонализирующий базис, в котором этим формам отвечает
матрица вида (38.6). Запись (38.5) называется нормальным видом
для кв.ф. h.
Подчеркнем, что в нормальном виде диагональными коэффици-
ентами могут быть только плюс или минус единицы и нули, причем
располагаются они именно в таком порядке: сначала s единиц, по-
том t минус единиц, потом n−(s+t) нулей. (Разумеется, не исключа-
ются случаи обращения в нуль каких-либо из указанных количеств.)
Предложение 38.1. Для любой с.б.ф. (кв.ф.) над полем R су-
ществует нормализирующий базис.
Доказательство см. выше. ¤
38.2. Индексы инерции для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R
R
R.
Теорема инерции. В определение нормального вида для симмет-
рической билинейной формы f ∈ L
2
s
(V ) (квадратичной формы
h ∈ K(V )) входят две количественные характеристики: s и t, яв-
ляющиеся неотрицательными целыми числами, сумма которых рав-
няется рангу r = rank(f) = rank(h).
§ 38     Квадратичные формы над полем R . Сигнатура                481

  В результате замены (38.4) кв.ф. (38.3) приобретет вид:

            h(x) = y12 + ... + ys2 − ys+1
                                      2
                                          − ... − yr2 = y t Gy,   (38.5)

где
                                                           
                            Es        O           O
                           s×s        s×t      s×(n−r)
                                                           
                           O        −Et          O         
               G =
                           t×s       t×t       t×(n−r)
                                                            .
                                                                 (38.6)
              n×n
                                                           
                            O         O           O
                          (n−r)×s   (n−r)×t   (n−r)×(n−r)

  Основной результат данного пункта получен. Остается ввести но-
вый термин для полученного выше вида (38.5) — самого простого
из возможных диагональных видов для матриц, отвечающих сим-
метрическим билинейным (квадратичным) формам над R, и сфор-
мулировать (уже установленный) результат.

  Определение 38.1. Нормализирующим базисом для симметри-
ческой билинейной (квадратичной) формы над полем R называется
такой диагонализирующий базис, в котором этим формам отвечает
матрица вида (38.6). Запись (38.5) называется нормальным видом
для кв.ф. h.

  Подчеркнем, что в нормальном виде диагональными коэффици-
ентами могут быть только плюс или минус единицы и нули, причем
располагаются они именно в таком порядке: сначала s единиц, по-
том t минус единиц, потом n−(s+t) нулей. (Разумеется, не исключа-
ются случаи обращения в нуль каких-либо из указанных количеств.)

  Предложение 38.1. Для любой с.б.ф. (кв.ф.) над полем R су-
ществует нормализирующий базис.

  Доказательство см. выше. ¤

  38.2. Индексы инерции для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R .
Теорема инерции. В определение нормального вида для симмет-
рической билинейной формы f ∈ L2s (V ) (квадратичной формы
h ∈ K(V )) входят две количественные характеристики: s и t, яв-
ляющиеся неотрицательными целыми числами, сумма которых рав-
няется рангу r = rank(f ) = rank(h).

Страницы