Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 482 стр.

482     Линейные, билинейные и квадратичные формы             Гл. 4

  Определение 38.2. Список [s, t] неотрицательных целых чисел,
характеризующих нормальный вид (38.5), называется сигнатурой
для (соответствующих друг другу) с.б.ф. f и кв.ф. h.
  Сами эти числа называются (соответственно) положительным и
отрицательным индексами инерции для f и h.
  Замечание 38.1. А теперь сознаемся: только что данное определе-
ние — по крайней мере пока — совершенно некорректно. Дело в том,
что мы отнесли характеристики s и t к заданным формам, хотя, по
построению, они зависят не только от f и h, но и от выбора нормали-
зируещего базиса. Мы уже говорили о неоднозначности определения
диагонального вида, еще бо́льшая неоднозначность имеет место при
выборе диагонализирующего базиса. Нормализирующий базис опре-
деляется по диагонализирующему и, следует ожидать, что он также
определяется неоднозначно.
  А вот нормальный вид, как будет показано ниже, определен со-
вершенно однозначно, т. е. числа s и t не зависят от выбора диагона-
лизирующего базиса (иначе говоря: от способа приведения формы к
нормальному виду).
  Кому-то из математиков показалось, что это свойство чем-то на-
поминает (физическое) явление инерции. Так родилось название
"индексы инерции" и имя "теорема инерции". (Любителям исто-
рии — задание: выяснить, кто первым предложил такую "образную"
терминологию?)
  Кого-то (из любителей филологии) может смутить словоупотреб-
ление "отрицательный индекс" применительно к неотрицательному
числу t. Но таковы математики: иногда очень щепетильны в терми-
нологии, а иногда — небрежны.
  Итак, для того чтобы обеспечить корректность определения 38.2,
должна быть доказана следующая

   Теорема 38.1. Нормальный вид для симметрической билиней-
ной (квадратичной) формы над полем R определен однозначно, т. е.
сигнатура формы не зависит от выбора диагонализирующего базиса
(способа приведения формы к нормальному виду).
  Доказательство. Рассуждения будем вести для квадратичной
формы h ∈ K(V ). Как известно (см. п. 35.3), понятие ранга опре-
делено инвариантно: в любом базисе матрица кв.ф. имеет один и
тот же ранг. В частности, в любом диагонализирующем базисе ко-